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Betrag komplexes Polynom

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis

YoFrankie aktiv_icon

01:39 Uhr, 02.02.2010

Hallo,

es sei ein beliebiges Polynom mit komplexen Koeffizienten gegeben (f(z)=c0 + c1 z^1 + c2 z^2....+ cn z^n).
Allerdings existiert ein r>0 und für das gilt:
Falls der Betrag einer beliebigen komplexen Zahl z kleiner als r ist, so muss immer gelten:
|f(z)|<=|f(0)|
Zu zeigen ist, dass in diesem Fall c1=c2=...=cn=0
D.h. im Prinzip muss ich zeigen, falls einer der Koeffizienten ungleich 0 ist, gibt es auch ein z mit |z|<r, so dass |f(z)|>|f(0)|

supraklang aktiv_icon

02:30 Uhr, 02.02.2010

Ganz kranke Aufgabe

\frac{:}{}

Ist es Analysis 1 ?

YoFrankie aktiv_icon

12:11 Uhr, 02.02.2010

Jo genau. Es gab eine ähnliche Aufgabe im Tutorium:

f (z) = c_{0} + c_{1} z^{k}

und es gibt ein

r > 0

so dass gilt:

∣ z ∣ < r \Rightarrow ∣ f (z) ∣ \leq ∣ f (0) ∣

und zu zeigen war dann eben auch, dass

c_{1}

dann null sein muss.
Die Lösung ging dann so:
Annahme:

c_{1} \neq 0

und o.B.d.A.

c_{0} \neq 0

(der Fall

c_{0} = 0

ist trivial)
Sei

\frac{c_{1}}{c_{0}} = d

dann gilt:

f (z) = c_{0} (1 + d \cdot z^{k}) = c_{0} (1 + ∣ d ∣ \cdot ∣ z ∣^{k} \cdot e^{i (k \cdot a r g (z) + a r g (d))})

Jetzt wählt man arg(z) so, dass

k \cdot a r g (z) + a r g (d) = 2 π

und e hoch das Ganze einfach 1 wird und |z| einfach kleiner als r, d.h. für das gewählte

z_{0}

gilt dann

f (z_{0}) = c_{0} (1 + ∣ d ∣ \cdot ∣ z ∣^{k})

und

∣ f (z_{0}) ∣ = ∣ c_{0} ∣ \cdot ∣ (1 + ∣ d ∣ \cdot ∣ z ∣^{k}) ∣

und da sieht man dann natürlich direkt, dass

∣ f (z_{0}) ∣ > ∣ f (c_{0}) ∣ = ∣ c_{0} ∣

für das gewählte

z_{0}

D.h. egal wie die Koeffizienten sind und wie klein r, kann ich immer einen Polarwinkel wählen, so dass der Betrag von f(z) eben größer als Betrag f(0) ist.
Aber die Aufgabe bringt mich bei dem Polynom mit beliebig vielen Koeffizienten nichts, da ich nicht alle e auf diese Art rausfallen lassen kann.
Mir ist jetzt nur klar, dass die Aufgabe bedeutet, egal welche Koeffizienten im Polynom sind - indem ich einen geschickten winkel wähle, muss der Betrag von f(z) eben größer als Betrag f(0) sein. Ich schaff es aber nicht zu zeigen, wie man den Winkel in Abhängigkeit der Koeffizenten wählen muss. Der Betrag von meinem gewählten z ist auf jeden Fall uninteressant, da r ja beliebig klein gewählt werden kann.

YoFrankie aktiv_icon

21:40 Uhr, 02.02.2010

Ok habe schließlich den Beweis gefunden
c0 wieder ausklammern und den winkel von z so wählen das man dastehen hat:

∣ f (z) ∣ = ∣ c_{0} ∣ \cdot ∣ 1 + ∣ d_{1} ∣ ∣ z ∣ + . . . . . ∣

Das kann man mit den komplexen Ungleichungen für Beträge umformen:

∣ c_{0} ∣ \cdot ∣ 1 + ∣ d_{1} ∣ ∣ z ∣ + . . . . . ∣ > ∣ c_{0} ∣ \cdot (∣ 1 + ∣ d_{1} ∣ ∣ z ∣ ∣ - ∣ . . . . . ∣)

es gilt also noch zu zeigen, dass man z so wählen kann, indem man nur den Betrag ändert (den Winkel hat man ja schon fest gewählt), dass

∣ 1 + ∣ d_{1} ∣ ∣ z ∣ ∣ - ∣ . . . . . ∣ > 1

was äquivalent ist mit:

∣ ∣ d_{1} ∣ ∣ z ∣ ∣ > ∣ . . . . . ∣

\Leftrightarrow ∣ d_{1} ∣ ∣ z ∣ > ∣ . . . ∣ + ∣ . . . ∣ + ∣ . . . ∣

aus jedem der hinteren || kann man

∣ z ∣^{2}

ausklammern und dann kann man die gleichung so umformen, dass man sieht, dass man |z| so wählen kann, dass das gilt!

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