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Betrag von komplexer zahl zum quadrat

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Betrag, Komplexe Zahlen

stefanBe aktiv_icon

10:54 Uhr, 05.06.2016

Hallo, ich verstehe grade nicht wie man allgemein folgendes auflöst:

| z^{2} | < 2

was muss ich zuerst auflösen? Wie gehe ich vor?
Muss es zu |(x+iy)^2|

= | x^{2} + 2 \cdot x \cdot i \cdot y - y^{2} |

umgeschrieben werden? Eher nicht oder, ich will ja einen Radius in der Komplexen Zahlenebene angeben, da hilft das ja nicht weiter.

Kann ich einfach

| z^{2} | < 2

| z | < \sqrt{2}

umschreiben ?

Vielen Dank :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

11:18 Uhr, 05.06.2016

Hallo,

"|

z^{2} | < 2

| z | < 2

umschreiben ?"

Du brauchst doch nur nachrechnen, ob

| z^{2} | = {| z |}^{2}

ist.

Gruß pwm

stefanBe aktiv_icon

11:40 Uhr, 05.06.2016

hmm ich verstehe nicht genau was gemeint ist.. Das soll ja alles allgemein gehalten werden, da tu ich mich immer bisschen schwer mit

rundblick aktiv_icon

11:50 Uhr, 05.06.2016

.
" .. nicht genau .."

also: genau dies

\to | z^{2} | \neq {| z |}^{2} ...

. nun, es sei->

z =

x+iy

. .

. mit

x

und

y \in R

\to

berechne zuerst

z^{2} = . .

. ?
2.

\to

berechne dann den Betrag von

. .

. ?

\to

finde nun heraus,
3.

\to

wo Punkte

z = (x, y)

in der Gauss-Ebene herumliegen, für die gilt

| z^{2} | < 2

stefanBe aktiv_icon

12:34 Uhr, 05.06.2016

www.wolframalpha.com/input/?i=abs((x%2Biy)%5E2)

laut wolframalpha kann ich das quadrat aber aus dem betrag ziehen, oder sehe ich das falsch

hmm naja macht ja auch sinn wenn

| z^{2} | = | z \cdot z |

und bei multiplikation kann man das ja in zwei beträge aufteilen, oder gilt das nur für Zahlen aus

R

rundblick aktiv_icon

12:42 Uhr, 05.06.2016

.
".. sehe ich das falsch "

...

\to J A

stefanBe aktiv_icon

12:58 Uhr, 05.06.2016

ich check's grad gar nicht sorry :-D) also es scheitert schon beim auflösen vom betrag da
|x^2+2xiy-y^2|ja schwer in realteil und imaginärteil aufzuteilen ist wegen der multiplikation

Apilex aktiv_icon

13:46 Uhr, 05.06.2016

re(x^2+2xiy-y^2)

= x^{2} - y^{2}

y, x \in ℝ

und
im(x^2+2xiy-y^2) = 2xy

\Rightarrow | x^{2} + 2 x \cdot i \cdot y - y^{2} | =

sqrt(re(x^2+2xiy-y^2)^2

+

im(x^2+2xiy-y^2)^2 ) (def betrag im Komplexen)

rundblick aktiv_icon

19:02 Uhr, 05.06.2016

.
kurz dazu:
"|z⋅z| und bei multiplikation kann man das ja in zwei beträge aufteilen,
oder gilt das nur für Zahlen aus R"

prüfe doch selbst nach .. :

gilt für

z \in C \Rightarrow | z^{2} | = {| z |}^{2}

..oder ..

\Rightarrow | z^{2} | \neq {| z |}^{2} .

. ?

es ist

\to

{| z |}^{2} = {| x + y \cdot i |}^{2} = x^{2} + y^{2}

und wie du oben schon lesen kannst ist:

| z^{2} | = | (x^{2} - y^{2}) + 2 x y \cdot i | = \sqrt{{(x^{2} - y^{2})}^{2} + {(2 x y)}^{2}} =

. .

. ?

also, wenn die Aufgabe evtl. nun so aussieht

\to {| z |}^{2} < 2

dann hast du ja offensichtlich eine Scheibe

. .

?
und kannst das Ergebnis wohl auch noch verbal ein-kreisen..

ok?
.

stefanBe aktiv_icon

20:37 Uhr, 05.06.2016

ah habs grad nachgerechnet danke euch allen!

stefanBe aktiv_icon

20:37 Uhr, 05.06.2016

[

doppel post]

rundblick aktiv_icon

20:41 Uhr, 05.06.2016

.
"ah habs grad nachgerechnet"

\to

prima - aber wie sieht denn jetzt deine Lösung für die Aufgabe aus ?

welches sind alle

z \in C,

für die

| z^{2} | < 2

gilt

\to .

. ?
.

Bummerang

20:46 Uhr, 05.06.2016

Hallo stefanBe,

da bist Du auf einen großen Scharlatan hereingefallen!

| z^{2} | = | (x^{2} - y^{2}) + 2 \cdot x \cdot y \cdot i |

= \sqrt{{(x^{2} - y^{2})}^{2} + {(2 \cdot x \cdot y)}^{2}}

= \sqrt{(x^{4} - 2 \cdot x^{2} \cdot y^{2} + y^{4}) + (4 \cdot x^{2} \cdot y^{2})}

= \sqrt{x^{4} + 2 \cdot x^{2} \cdot y^{2} + y^{4}}

= \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{2}}

= (x^{2} + y^{2})

= {(\sqrt{x^{2} + y^{2}})}^{2}

= {| x + i \cdot y |}^{2}

= {| z |}^{2}

rundblick aktiv_icon

21:07 Uhr, 05.06.2016

.
ein Bummerang, ein Bummerang..
was der alles kann ..

dass

\sqrt{(x^{2} - y^{2}) + {(2 x y)}^{2}} = \sqrt{{(x^{2} + y^{2})}^{2}} .

. usw .. ist,
hat stefanBe nach meinem obigen Vorschlag

(19 : 02

Uhr,

05.06.2016)

wohl
ohne Bummerang richtig selbst nachgerechnet und vermutlich auch meinen
anschliessenden Tipp mit der daraus folgenden Kreisscheibe richtig aufgenommen..

also: mal wieder sowas von fleissigem Bummerang

\to

zurück an den Abwerfer..

.

stefanBe aktiv_icon

22:20 Uhr, 06.06.2016

naja es hat mich dazu gebracht das alles selbst nochmal zu überprüfen, jetzt versteh ichs immerhin richtig ;-)

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