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Betragfrei umformen

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Sonstiges

Tags: Betrag, betragfrei, Gleichungen, Sonstiges, Umformen

MaStudent aktiv_icon

16:04 Uhr, 06.09.2014

Hallo ihr lieben,

ihr seid ja alle immer so lieb und da dachte ich mir, ich hau mal wieder eine Frage raus:

Beim stöbern durch Unimaterial ist mir folgende Aufgabe begegnet:

1 .)

Formen Sie in betragsfreie Ausdrücke um:

i) | x^{2} -

2xy

+ y^{2} |

ii)

a - | a - | a | |

iii)

\frac{a + b + | a - b |}{2}

Ich hab selten mit Betrag arbeiten müssen und mir fehlt einfach ein Ansatz dafür, wie ich soetwas "betragsfrei" schreiben soll. Bitte um Erklärung :-)

Vielen Dank

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

16:15 Uhr, 06.09.2014

Hallo,

das erste ist anderer Natur als die beiden anderen.
Schau dir den Term, von dem der Betrag genommen werden soll, genau an. Wenn er dich nicht an die Schule erinnert, tausche

x

durch,

a

und

y

durch

b

.

Bei den beiden anderen wende doch die Definition von Beträgen an, d.h. =... für ...

\geq 0

, und ..., sonst.
Rechne also beide Terme fallweise aus!

Sollten dann noch Beträge vorhanden sein, kann man

∣ x ∣ = \sqrt{x^{2}}

verwenden, um die Beträge endgültig loszuwerden.

Mfg MIchael

MaStudent aktiv_icon

16:40 Uhr, 06.09.2014

Ja, das ist eben genau das, was ich jetzt nicht wusste. Ist eine Lösung gewollt nach dem Motto

x + y = z

(nur als Beispiel), in dem keine Beträge mehr auftauchen, oder eine Betragsschreibweise, in der

z . B

. steht "x, für

x > 0

und

- x,

für

x <

0".

Könnte man denn zb aus

a + | b |

folgendes machen?

\Rightarrow a + \sqrt{b^{2}}

Oder ist das zu "banal" ?

michaL aktiv_icon

16:59 Uhr, 06.09.2014

Hallo,

> Könnte man denn zb aus a+|b| folgendes machen? ⇒

a + b^{2}

Oder ist das zu "banal" ?

Das kann ich nicht beantworten. Dazu bräuchte ich als Hintergrundwissen die konkrete Aufgabenstellung als Scan UND Einblick in eure Übung. Da wird üblicherweise mal gezeigt, worum es gehen könnte.

Wenn ich PERSÖNLICH gefragt werde, ich würde dir für

a - ∣ a - ∣ a ∣ ∣ = a - \sqrt{{(a - \sqrt{a^{2}})}^{2}}

NICHT die volle Punktzahl geben.

Gehe den Weg:

a - ∣ a - ∣ a ∣ ∣ = {\begin{aligned} \dots, & a \geq 0 \\ \dots, & a < 0 \end{aligned}

ICH vermute, dass es SO werden soll, kann es aber nicht garantieren.
Warum? Das erste (mit der Wurzel) erfordert ja nun so überhaupt kein Nachdenken. Die 2. wenigstens ein bisschen Rechnerei.

Mfg Michael

MaStudent aktiv_icon

17:36 Uhr, 06.09.2014

Danke, ich denke auch, dass das so der richtige Weg ist. Kannst du mir vielleicht eben noch erläutern, wie hier im Forum die Formatierung für die Schreibweise der Klammer für Beträge ist? Habe es irgendwie nicht gefunden.

Vielen Dank schonmal für die Antwort.

MurksVomOrk aktiv_icon

17:44 Uhr, 06.09.2014

Ich schließe mich dem MichaL größtenteils an: Fallunterscheidung ist die beste(/einzige gute) Möglichkeit.

Aber auf

| x | = \sqrt{x^{2}}

würde ich verzichten. Man könnte es

z . B

. in Aufgabe

b)

anwenden und ganz auf die Fallunterscheidung verzichten, aber
-sollte man die Berechnungen im Rechner machen, ist die Fallunterscheidung besser (Laufzeitoptimierung, Schaltungsverkleinerung*, Rechen(un)genauigkeit, Überläufe, Sonderfälle,

...)

-für Aufgabe

b)

hätte man keine Vorteile durch die Umstellung
-es wird unübersichtlich
-mit der Fallunterscheidung hat man bei

b)

nur 2 Fälle und 2 kürzere Formeln
-unser Lehrer daaamaaaals mochte die Lösung schon nicht - auch wenn er sie als richtig anerkannt hat

- - -

Offtopic:
*im Fall von Aufgabe

b)

bräuchte man mit Fallunterscheidung nur noch einen Vorzeichentest, eine Negation, einen Multiplexer und eine Addition nach der Optimierung - statt 3*"Betrag" (=Vorzeichentest, Negation, x-bit Multiplexer), 2*Subtraktion (=Addition, Negation) (Negation = Inverter, Addierer)ursprüngliche Gleichung

]

und mit der Umformung über

| x | = \sqrt{x^{2}}

würde die Schaltung sogar noch teurer und/oder langsamer werden!

Ich mach es mal kurz: dank Fallunterscheidung könnte man die Schaltung auf fast

\frac{1}{3}

verkleinern und sogar schneller takten (für nen genauen Wert müsste ich die Schaltung designen und ein Synthesetool befragen - ist hier aber auch nicht von Interesse).

-->großer Vorteil (Größe, Geschwindigkeit, Ausbeute in der Fertigung,

. .

. = Kosten)

- - -

Zurück zum Thema:
Ablauf ist relativ leicht:
-Nullstellen der Funktion finden
-für jeden Bereich zwischen 2 Nullstellen entweder

+

oder - als Vorzeichen setzen, sodass das Ergebnis mit dem Betrag übereinstimmt...

Beispiel:

y = | x^{2} - 1 | = | (x - 1) \cdot (x + 1) |

Nullstellen bei

- 1

und 1
Es gibt als 3 Bereiche ("links" von

- 1,

zwischen

- 1

und

1,

"rechts" von

1)

Allgemein gilt

+

oder

- ((x - 1) \cdot (x + 1))

und das Vorzeichen hängt dabei vom Bereich/dem Ergebnis für

y

ab!

x < - 1 : +,

weil

y

in diesem Bereich immer positiv ist

1 < x < - 1 : -,

weil

y

hier immer negativ ist und man den positiven Wert haben möchte (Ersatz für die Betragstriche)

x > 1 : +,

analog zu

x < - 1

sonst: 0

- - -

so, inzwischen gibt es sicher schon 3 (oder mehr Antworten) ;-)

michaL aktiv_icon

17:55 Uhr, 06.09.2014

Hallo,

> Kannst du mir vielleicht eben noch erläutern, wie hier im Forum die Formatierung für die Schreibweise der
> Klammer für Beträge ist?

Hm, ich weiß nicht, ob es dir viel hilft. Ich nutze immer den "Expertenmodus". Nicht weil ich einer bin, sondern weil es (rudimentär) LaTeX-Schreibweise erlaubt.

Die Fallunterscheidung

∣ a ∣ = {\begin{aligned} a, & a \geq 0 \\ - a, & a < 0 \end{aligned}

kodiere ich dort so:
$|a|=
\left\{\begin{array}{rl}
a, & a\geq0\\
-a, & a<0\\
\end{array}\\right.

Dazu ist zu sagen, dass die Kodierung in eine Zeile geschrieben werden muss (sonst geht es hier nicht). Ich habe es jetzt für dich ein bißchen optisch optimiert, damit es besser lesbar ist.

Ich bin allerdings der Meinung, dass JEDER, der mit Mathematik zu tun hat, früher oder später bei LaTeX landen sollte. Wenn nicht, hat er meiner Meinung nach was falsch gemacht.
Wer Formeln in Word oder Libroffice oder Openoffice schreibt, hat definitv zu viel Zeit.
Korrekt ist aber auch, dass die Lernkurve bei LaTeX - wie heißt es so schön - relativ steil ist.

Mfg Michael

EDIT: Typo

MaStudent aktiv_icon

18:19 Uhr, 06.09.2014

Danke, ich habe früher privat viel mit LaTeX gemacht, allerdings jetzt schon länger nicht mehr - muss mich da erst wieder zurecht finden. Trotzdem Danke.

MaStudent aktiv_icon

18:39 Uhr, 06.09.2014

Ok, doch nochmal eine Frage:

Nehmen wir an man soll die Funktion

f (x) = | x^{3} + 4 |

betragsfrei schreiben.

Könnte man dann für

x \geq - 1

sagen

f (x) = x^{3} + 4

und für

x < - 1

dann

f (x) = - (x^{3} + 4)

?

Damit müsste man doch stehts auf das gewünscht positive Ergebnis kommen?

LG
Marcus

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