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Betragrechnung

Schüler

Tags: Vektoren

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14:08 Uhr, 06.08.2009

Hallo,

ich hab Problem beim Lösen einer Aufgabe, die Aufgabe lautet:

Von zwei Vektoren a und

b

ist bekannt

| a | = 4

(a - 2 b)

senkrecht zu

(a + b)

| a - 2 b | = 2 | a + b |

könnte mir da jemand bitte einen Lösungsweg geben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

m-at-he

07:10 Uhr, 07.08.2009

Hallo,

Ich denke nicht, daß man das, ohne darüber alt und grau zu werden, in gemeinsamer Arbeit lösen kann. Da das auch sonst niemand versucht hat, bringe ich hier einfach mal die gesamte Lösung.

Zunächst mal, hast Du nicht das Ziel der Berechnungen angegeben. Da man das Ganze auch drehen oder spiegeln kann und die Bedingungen immer noch erfüllt sind, ist

m . E

. nur eine exemplarische Lösung möglich oder am Ende ist ganz profan nach

| b |

gesucht. Ich berechne einfach ein Repräsentantenpaar für a und

b,

den Rest mußt Du selbst machen, das ist dann aber auch nur ein Bruchteil der Gesamtarbeit.

Auch wenn das eine Aufgabe aus der Vektorrechnung ist, würde ich wie folgt herangehen:

Die Vektoren

a - 2 \cdot b

und

a + b

stehen orthogonal aufeinander. Ich nehme als Repräsentanten dieser Vektoren mal die Vektoren, die auf den beiden Achsen eines orthonormalen Koordinatensystems liegen. Den Repräsentant des Vektor

a - 2 \cdot b

lege ich beginnend bei

(0; 0)

auf die x-Achse, den Repräsentanten von

a + b

ebenfalls beginnend bei

(0; 0)

auf die y-Achse. Bleibt nur, wie lang muß ich die Vektoren zeichen? Ist erst einmal egal, das einzige was stimmen muß ist das Längenverhältnis, denn die Koordinatenachsen teilen wir erstmal nicht ein! Der Pfeil auf der x-Achse ist also doppelt so lang wie der Pfeil auf der y-Achse. Jetzt verbinden wir die beiden Pfeilspitzen miteinander und teilen (wir machen ja nur eine Skizze und keine technische Zeichnung) die entstandene Strecke mit dem Lineal in 3 ca. gleichlange Teile. Den Teilungspunkt, der der y-Achse am nächsten liegt verbinden wir mit dem Koordinatenursprung und machen daraus einen Vektor, der im Koordinatenursprung beginnt und in diesem Punkt endet. Diesen Vektor bezeichnen wir als

a

. Ausgehend von der Spitze von a zeichnen wir nun in Richtung der y-Achse einen weiteren Vektor ein, den nennen wir

b

. In Richtung der x-Achse erhalten wir demzufolge 2 Mal den Vektor

- b .

Jetzt fällen wir noch von der Spitze von a die beiden Lote auf die Achsen. Dadurch erhalten wir 2 Strahlensatzfiguren:

1. Strahlensatzfigur: Schnittpunkt der Strahlen ist die Spitze des Vektors

a - 2 \cdot b

. Die beiden Parallelen sind die y-Achse und das eben eingezeichnete Lot auf die x-Achse. Damit erhält man, daß die x-Koordinate des Vektors a genau

\frac{1}{3}

der Länge von

a - 2 \cdot b

ist.

\Rightarrow

x-Koordinate von

a : x_{a} = \frac{1}{3} \cdot | a - 2 \cdot b |

2. Strahlensatzfigur: Schnittpunkt der Strahlen ist die Spitze des Vektors

a + b

. Die beiden Parallelen sind die x-Achse und das eben eingezeichnete Lot auf die y-Achse. Damit erhält man, daß die y-Koordinate des Vektors a genau

\frac{2}{3}

der Länge von

a + b

ist.

\Rightarrow

y-Koordinate von

a : y_{a} = \frac{2}{3} \cdot | a + b |

Wegen

| a - 2 \cdot b | = 2 \cdot | a + b |

gilt:

x_{a} = \frac{1}{3} \cdot | a - 2 \cdot b | = \frac{1}{3} \cdot 2 \cdot | a + b | = \frac{2}{3} \cdot | a + b | = y_{a}

Wegen

| a | = 4

gilt:

4 = | a | = \sqrt{x_{a}^{2} + y_{a}^{2}} = \sqrt{x_{a}^{2} + x_{a}^{2}} = x_{a} \cdot \sqrt{2}

\Rightarrow x_{a} = y_{a} = 2 \cdot \sqrt{2}

Jetzt suchen wir noch das

b,

von dem wir wissen, daß der Vektor

a - 2 \cdot b

auf der x-Achse endet, also:

2 \cdot \sqrt{2} - 2 \cdot y_{b} = 0 \Rightarrow y_{b} = \sqrt{2}

und

a + b

auf der y-Achse endet, also:

2 \cdot \sqrt{2} + x_{b} = 0 \Rightarrow x_{b} = - 2 \cdot \sqrt{2}

Zwischenergebnis:

a = (2 \cdot \sqrt{2}; 2 \cdot \sqrt{2})

b = (- 2 \cdot \sqrt{2}; \sqrt{2})

Das wären die Repräsentanten, die durch dieses Verfahren gewonnen wurden:

Probe:

| a | = \sqrt{{(2 \cdot \sqrt{2})}^{2} + {(2 \cdot \sqrt{2})}^{2}} = \sqrt{8 + 8} = \sqrt{16} = 4 \Rightarrow

wie gefordert

a - 2 \cdot b = (2 \cdot \sqrt{2}; 2 \cdot \sqrt{2}) - 2 \cdot (- 2 \cdot \sqrt{2}; \sqrt{2}) = (2 \cdot \sqrt{2}; 2 \cdot \sqrt{2}) + (4 \cdot \sqrt{2}; - 2 \cdot \sqrt{2}) = (6 \cdot \sqrt{2}; 0)

a + b = (2 \cdot \sqrt{2}; 2 \cdot \sqrt{2}) + (- 2 \cdot \sqrt{2}; \sqrt{2}) = (0; 3 \cdot \sqrt{2})

< a - 2 \cdot b; a + b > = < (6 \cdot \sqrt{2}; 0); (0; 3 \cdot \sqrt{2}) > = 6 \cdot \sqrt{2} \cdot 0 + 0 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 0 + 0 = 0 \Rightarrow

wie gefordert

| a - 2 \cdot b | = 6 \cdot \sqrt{2}

| a + b | = 3 \cdot \sqrt{2}

| a - 2 \cdot b | = 6 \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot | a + b | \Rightarrow

wie gefordert

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17:22 Uhr, 08.08.2009

Vielen Dank für die ausfühliche Antwort:

Aufgabe an sich war nur Ermittlung von

| b |

Geht dies auch etwas schneller bzw einfacher?

m-at-he

20:42 Uhr, 09.08.2009

Hallo,

"Aufgabe an sich war nur Ermittlung von

| b |

Geht dies auch etwas schneller bzw einfacher?"

versuch's doch selber mal!

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