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Betrags- und Bruchungleichungen

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen,

Tags: Betragsbruchungleichung, regeln

tiine aktiv_icon

14:56 Uhr, 23.11.2017

Hallo,

ich habe die Ungleichung Betrag von

(4 x - 3)

x + 7

größer gleich 4

ich weiß, dass ich in 4 Fälle unterscheiden muss. Jedoch kapier ich den Sinn noch nicht ganz und wollte fragen, ob mir jemand erklären kann warum und wie ich die 4 Fälle unterteile?

Danke.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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15:39 Uhr, 23.11.2017

Du musst nur 2 Fälle unterscheiden:

Nenner

> 0

und Nenner <Null

Wenn der Nenner kleiner Null ist und du mit ihm durchmultipizierst, dreht sich das Ungleichheitszeichen um.

DerDepp aktiv_icon

16:02 Uhr, 23.11.2017

Hossa :-)

Du sollst die folgende Ungleichung untersuchen:

∣ \frac{4 x - 3}{x} + 7 ∣ \geq 4

Das, was zwischen den Betragsstrichen steht kann

\geq 0

oder

< 0

sein. Wenn es

\geq 0

ist, kannst du die Betragsstriche einfach weglassen, wenn es

< 0

ist, musst du alles, was zwischen den Betragsstrichen steht, mit

(- 1

) multiplizieren und kannst dafür dann die Betragsstriche ebenfalls wegalssen. Damit hast du schon mal 2 Fälle:

Fall 1:

\frac{4 x - 3}{x} + 7 \geq 0

Hier geht die Betragsungleichung über in die folgende Ungleichung:

\frac{4 x - 3}{x} + 7 \geq 4

Fall 2:

\frac{4 x - 3}{x} + 7 < 0

Hier geht die Betragsungleichung über in die folgende Ungleichung:

- (\frac{4 x - 3}{x} + 7) \geq 4

Jetzt musst du dir überlegen, für welche

x

-Werte die Bedingung von Fall 1 bzw. Fall 2 erfüllt sind, denn die Lösung der vereinfachten Ungleichung (ohne Betragsstriche) kann ja nur aus der Menge dieser

x

-Werte kommen. Dazu musst du die Bedingungs-Ungleichungen nach

x

umstellen. Im ersten Schritt wird dazu einfach

7

auf beiden Seiten subtrahiert:

Fall 1:

\frac{4 x - 3}{x} + 7 \geq 0 \Leftrightarrow \frac{4 x - 3}{x} \geq - 7

Fall 2:

\frac{4 x - 3}{x} + 7 < 0 \Leftrightarrow \frac{4 x - 3}{x} < - 7

Jetzt musst du beachten, dass sich eine Ungleichung umkehrt, wenn du sie auf beiden Seiten mit einer negativen Zahl multiplizierst, aus

<

wird

>

und umgekehrt. [Beispiel: 3<4 aber -3>-4] Du musst also für jeden der beiden Fälle noch unterscheiden, ob

x > 0

oder

x < 0

ist. Es gibt also die Fälle 1a, 1b, 2a und 2b:

Fall 1a:

\frac{4 x - 3}{x} + 7 \geq 0 \land x > 0

Fall 1b:

\frac{4 x - 3}{x} + 7 \geq 0 \land x < 0

Fall 2a:

\frac{4 x - 3}{x} + 7 < 0 \land x > 0

Fall 2b:

\frac{4 x - 3}{x} + 7 < 0 \land x < 0

rundblick aktiv_icon

16:04 Uhr, 23.11.2017

.

" die Ungleichung Betrag von

(4 x - 3)

x + 7

größer gleich 4 "

... ... ... ... ... ...

. wie sieht das denn nun genau aus?

zB so

\to

1) \to \frac{| (4 x - 3) |}{x} + 7 \geq 4

oder so

\to

2) \to | \frac{4 x - 3}{x + 7} | \geq 4

oder so

\to

3) \to \frac{| (4 x - 3) |}{x + 7} \geq 4

4) \to

oder so wie der Depp sich damit abmüht?

oder wie ?

\to

5) \to

?
.

nebenbei:
da du schon länger hier dabei bist, solltest du wissen, dass eine gelegentliche
Antwort das Minimum an Anstand im Umgang miteinander ist.

also

\to .

.

.

tiine aktiv_icon

19:17 Uhr, 23.11.2017

Hallo Rundblick tut mir sehr leid, dass ich nicht gleich antworten konnte. Die Ungleichung sieht wie deine erste Annahme aus. Es tut mir auch leid, dass ich meine Ungleichung nicht sehr gut schreiben konnte.

Hallo DerDepp vielen Dank für deine genaue Antwort. Du hast mir sehr weitergeholfen, danke. Ich glaube, dass ich nun diese Kapitel kann. :-)))))))
Vielen Dank nochmals. :-))))

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