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Betragsbruchungleichung - Vermischung

Schüler Berufskolleg, 10. Klassenstufe

Tags: Betrag, Bruch, Ungleichung

chdhesi0 aktiv_icon

16:37 Uhr, 13.11.2011

Hallo zusammen

Ich muss mal wieder eine Bruchungleichung lösen, aber jetzt mit einem Betrag noch dazu.

$| \frac{2 - x}{x + 3} | \geq 2$

Formal gesehen würde ich zuerst den Betrag und dann die Bruchungleichung lösen. Dann habe ich doch einmal den Fall grösser/gleich 0:

$\frac{2 - x}{x + 3} \geq 0$

...normalerweise müsste ich jetzt die Ungleichung noch dazu normal lösen ohne Vorzeichen zu vertauschen, doch dafür muss ich doch für die Bruchungleichung eine Fallunterscheidung machen? Sehe ich das richtig? Wenn ich aber wieder zwei Fälle unterscheide bei der Bruchungleichung, welchen muss ich dann nehmen? Ich muss ja eine Schnittmenge bilden zwischen Betrag und der Ungleichung je nach Fall.

Kann mir jemand diese Anfangsschritte mal kurz aufzeigen. Ich hab mal das hier gemacht:

$\frac{2 - x}{x + 3} \geq 0 = [(x \leq 2) \land (x > - 3)] = (- 3, 2]$

Für dieses Zahlenintervall wäre ja dann der positive Betrag grösser/gleich 0? Jetzt müsste ich die Bruchungleichung auflösen und von dieser die Schnittmenge mit dem positiven Betrag bilden? Nehm ich jetzt dafür den Fall: $(x + 3 > 0) = (x > - 3)$ ???

Vielen Dank für die Hilfe!

Gruss

chdhesi0

rundblick aktiv_icon

16:56 Uhr, 13.11.2011

du hast richtig gesehen, dass im Intervall

- 3 < x < 2

der Bruch positiv ist
aber du bist ja damit nicht fertig:

also, du darfst für alle

x

mit

- 3 < x < 2

die Betragszeichen weglassen
musst aber dann weiter denken:
in

- 3 < x < 2

ist zu untersuchen:

\frac{2 - x}{x + 3} \geq 2

2 - x \geq 2 x + 6

3 x \leq - 4

und damit hast du einen ersten Teil deiner Lösungsmenge:

- 3 < x \leq - \frac{4}{3}

jetzt untersuche die Intervalle

x < - 3

und

x > 2

ok?

chdhesi0 aktiv_icon

00:36 Uhr, 14.11.2011

Ok, dann bin ich auf dem richtigen Weg. Wobei ich mich frage, wie ich den negativen Betrag genau ausformulieren muss. My Try:
$\frac{2 - x}{x + 3} < 0$

Jetzt muss ich doch nach der Betragsfunktion für den negativen Fall folgendes machen:

$\frac{- (2 - x)}{- (x + 3)} = \frac{x - 2}{- x - 3}$

Bin mir da aber überhaupt nicht sicher. Daraus folgt, dass mein Zahlenintervall $(2, \infty) = (x > 2)$ funktioniert für den Betrag?

Für die Bruchungleichung erhalte ich zuerst für den Fall:

$(x + 3 < 0) = (x < - 3)$

$x \geq - \frac{4}{3}$

Dann wäre meine zweite Teillösungsmenge die beiden geschnitten bei: ${x > 2}$

Was mich etwas verwirrt, ist der negative Betrag von dem Bruch, weil ich noch nie den Betrag von einer Bruchungleichung gelöst habe. ;-)

Gruss

chdhesi0

rundblick aktiv_icon

14:29 Uhr, 14.11.2011

"..mich frage, wie ich den negativen Betrag genau ausformulieren muss."

NEIN, genau das musst du dich NICHT fragen, sondern du sollst
nachschauen, was geschieht, wenn du den Sachverhalt in den beiden
oben genannten Intervallen untersuchst (hast du das denn nicht gelesen?)

also zB für

x > 2

ist

\frac{2 - x}{x + 3}

Negativ (warum??)
deshalb gilt dann

| \frac{2 - x}{x + 3} | = (- 1) \cdot \frac{2 - x}{x + 3}

und weiter mit

(- 1) \cdot \frac{2 - x}{x + 3} \geq 2

folgt

x - 2 \geq 2 x + 6

oder

- 8 \geq x . .

. was wegen der Vor:

x > 2

also KEINE Lösung gibt.

so-
und jetzt überlege dir entsprechend, was passiert für

x < - 3

(wenn du es richtig machst, findest du da den Rest deiner Lösungsmenge)

ok?

nebenbei:
es wäre vielleicht eine gute Idee, wenn du dich informierst,
wie der Betrag einer reellen Zahl a definiert ist

| a | = {

.???. ..

< -

wie sehen hier die Fallunterscheidungen aus?

vulpi aktiv_icon

14:31 Uhr, 14.11.2011

Hallo !
Du hast da noch 'nen Denkfehler, den ich dir mal versuchen will, zu nehmen:

Wenn ein BRUCH negativ ist, hat er immer genau 2 Möglichkeiten dazu:
Bruch

< 0 :

1 .)

Zähler

> 0

UND Nenner

< 0,

oder

2 .)

Zähler

< 0

UND Nenner

> 0

Genau so, wenn ein BRUCH positiv ist:
Bruch

\geq 0 :

1 .)

Zähler

\geq 0

UND Nenner

> 0,

oder

2 .)

Zähler

< 0

UND Nenner

< 0

Das, was du gemacht hast, Zähler und Nenner zu negieren, negiert den Bruch natürlich
als ganzes nicht, du multiplizierst ja nur mit

- \frac{1}{- 1} = 1,

erhältst also den Wert.
Der BETRAG bezieht sich aber auf den GANZEN Bruch.
Also, wenn

\frac{a}{b} < 0

vorausgesetzt wird, dann weiß ich nur, dass

| \frac{a}{b} | = - (\frac{a}{b})

gilt.

Die Taktik für die Aufgabe ist also folgende:

1 .)

Die kritische Stellen sind da, wo Zähler und Nenner das Vorzeichen wechseln,also 2 und

- 3

2 .)

Damit erhältst du 3 zu prüfende Intervalle:

x < - 3

|links

- 3 < x \leq 2

|zwischen den 2 Nullstellen

x > 2

|rechts

So, für jedes Intervall untersuchst du jetzt den Quotienten.

Fall

1 : x < - 3 \Rightarrow

(2 - x) > 0

(neg. Zahl wird abgezogen!)

(x + 3) < 0

Der Bruch ist also

< 0,

um den Betrag aufzulösen, muß dieser negiert werden.
Im Prinzip könntest du dazu auch den Zähler negieren, GÜNSTIGER ist aber den
negativen Nenner positiv zu machen (wegen der Ungleichung)

Also weiter

| \frac{2 - x}{x + 3} | \geq 2 \Rightarrow

\frac{2 - x}{- (x + 3) > 0} \geq 2

2 - x \geq - 2 (x + 3)

|hier wurde mit POSITIVER Zahlt multipliziert lt. Voraussetzung

2 \geq - 2 x - 6 + x

8 \geq - x

x \geq - 8

Jetzt noch die Voraussetzung

: x < - 3

Alos ist diese Teillösung

- 8 \leq x < - 3

So, die 2 andere Fälle bleiben dir noch zur Übung.

mfg

chdhesi0 aktiv_icon

19:31 Uhr, 15.11.2011

@vulpi

Danke fürs erklären der Aufgabe! Das mit dem Zähler und Nenner des Bruches hätte man wissen müssen. Da habe ich einfach zu wenig überlegt und mich etwas irritieren lassen. ;-)

Also auf $(x < - 3) u n d (x > 2)$ habe ich aufgelöst:

$(x > 2) =keine Lösungsmenge$

$(x < - 3) = {x | - 8 < x \leq - 3}$

Das wurde ja so mehr oder weniger bereits beschrieben. Für den Bereich dazwischen wird ja die Ungleichung immer positiv. Ok, um jetzt die Aufgabe noch abzuschliessen muss ich doch die beiden Lösungmengen oben noch miteinander abgleichen? Dann bilde ich also zwischen:

${x | - 8 < x \leq - 3}$ und ${x | - 3 < x \leq - \frac{4}{3}}$ die Vereinigungsmenge?

Lösungsmenge: ${x | - 8 < x \leq - \frac{4}{3}}$

Sorry, für die vielen Fragen, aber jetzt sollte die Logik so langsam klar sein. ;-)

Viele Grüsse

chdhesi0

chdhesi0 aktiv_icon

17:05 Uhr, 16.11.2011

So, die Lösungsmenge: $[- 8, - 3) \lor (- 3, - \frac{4}{3}]$

Die zwei Intervalle sind also die zwei möglichen Zahlenbereiche, in denen die Betragsungleichung funktioniert.

Musste jetzt die Aufgabe nochmals mit meinen Mitschülern studieren. Also hat geklappt.

Gruss

chdhesi0

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