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Betragsfunktion

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Funktionen

Tags: Funktion

MathMP

23:07 Uhr, 18.02.2020

Hallo, folgende Betragsfunktion :

f (x) = \frac{x^{2} + | x + 3 | - 1}{x - 1}

x + 3 = 0

x = - 3

\to

für

x \geq - 3 \Rightarrow \frac{x^{2} + x + 2}{x - 1}

\to

für

x < - 3 \Rightarrow \frac{x^{2} - x - 4}{x - 1}

Das müsste doch stimmen oder?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

abakus

23:14 Uhr, 18.02.2020

Ja, das ist korrekt umgesetzt.

MathMP

23:49 Uhr, 18.02.2020

Danke, mein Problem ist diese Betragsfunktion sollte keine reellen Nullstellen haben aber durch das Auflösen der Betragsstriche hat sie welche?

Respon

23:51 Uhr, 18.02.2020

\to

"Danke, mein Problem ist diese Betragsfunktion sollte keine reellen Nullstellen haben"

Wieso glaubst du, dass deine Betragsfunktion reelle Nullstellen hat ?

Du musst die Definitionsbereiche deiner beiden Teilfunktionen beachten !

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06:47 Uhr, 19.02.2020

www.wolframalpha.com/input/?i=%28x%5E2%2B%7Cx%2B3%7C%2B1%29%2F%28x-1%29

anonymous

07:26 Uhr, 19.02.2020

Hallo
Wenn ich mit meinen Worten aushelfen darf...

"mein Problem ist(,) diese Betragsfunktion sollte keine reellen Nullstellen haben(.) (A)ber durch das Auflösen der Betragsstriche hat sie welche?"

Unter 'Auflösen der Betragsstriche' verstehst du vermutlich, dass du die ursprünglich mit Betrags-Operation definierte Funktion nun abschnittsweise und ohne Betrags-Operation dargestellt hast.
Durch die andere Darstellungsweise ändert sich aber nix. Die Funktion ist immer noch die selbe. Die Funktion ist vor wie nach gleich, hat also ggf. auch die gleichen Nullstellen.

So recht ist hieraus nicht wirklich ersichtlich, wie du denn auf Nullstellen untersucht hast, und was dich verunsichert...

Respon

08:09 Uhr, 19.02.2020

Bei den Teilfunktionen wurden offensichtlich nicht die Definitionsbereiche beachtet.

f_{1} (x) = \frac{x^{2} - x - 4}{x - 1}

für

(- \infty; - 3)

f_{2} (x) = \frac{x^{2} + x + 2}{x - 1}

für

[- 3; \infty)

Alleine für sich betrachtet hätte die Teilfunktion

f_{1} (x) = \frac{x^{2} - x - 4}{x - 1}

eine Nullstelle bei

x_{1} = \frac{1}{2} \cdot (1 - \sqrt{17})

bzw.

x_{2} = \frac{1}{2} \cdot (1 + \sqrt{17}),

diese Werte liegen aber nicht im Definitionsbereich von

f_{1}

Roman-22

12:12 Uhr, 19.02.2020

Vielleicht hilft ein Bild gegen die Sprachlosigkeit des Fragestellers

MathMP

12:44 Uhr, 19.02.2020

Ja genau, Respon hatte mit seiner Vermutung recht. Ich habe die Definitionsbereiche nicht beachtet,

x^{2} - x - 4 = 0

hat Nullstellen bei

x 1; 2 = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{2}

aber nachdem

\sqrt{17}

sicher

> 4

ist befindet man sich nicht im Definitionsbereich (-inf,-3)

Danke!

Zwei kurze Fragen:

1)Wenn ich mich jetzt noch die Grenzwerte gegen

\pm

inf. interessieren würde, müsste ich für

+

inf den Ausdruck

f 1 (x) = \frac{x^{2} + x + 2}{x - 1}

verwenden und für -inf den Ausdruck

f 2 (x) = \frac{x^{2} - x - 4}{x - 1}

?

2)Bei der Suche nach Extrema sind ja vorallem die Stellen interessant wo f´(x)=0.
Oft in den Übungsaufgaben haben wir noch die Ränder der Definitionsbereiche untersucht, ob dort auch Extrema sind. Warum sollten dort Extrema sein, wenn die erste Ableitung mir dort keine Stellen anzeigt?

Respon

12:54 Uhr, 19.02.2020

Es gibt globale und lokale Extrema.
siehe

z . B

. hier:
matheguru.com/differentialrechnung/extremstellen-extrempunkte.html

MathMP

14:27 Uhr, 19.02.2020

Danke,

Man sieht den abschnittsweise definierten Funktionen ja an, dass sie schiefe Asymptoten haben.

Wenn ich mir die schiefen Asymptoten berechne komme ich auf zwei unterschiedliche Ergebnisse.

für

f 1 (x) = \frac{x^{2} + x + 2}{x - 1}

über eine Polynomdivision komme ich auf

x + 2 + \frac{4}{x - 1},

also schiefe Asymptote bei

y = x + 2

für

f 2 (x) = \frac{x^{2} - x - 4}{x - 1}

kommt man mit Polynomdivision auf

x + 0 - \frac{4}{x - 1}

also schiefe Asymptote bei

y = 1 x + 0

Das würde doch bedeuten, dass für

x \geq - 3

die Asymptote

y = x + 2

ist
und für

x < - 3

die Asymptote

y = 1 x + 0

ist.

Kann das sein oder habe ich einen Denkfehler?

abakus

15:33 Uhr, 19.02.2020

Beantwortet ein Blick auf den von Roman um 12:12 Uhr geposteten Graph deine Frage?

MathMP

11:17 Uhr, 20.02.2020

Ja danke, anscheinend gibt es wirklich zwei schiefe Asymptoten.

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