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Betragsgleichung

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Tags: Betragsgleichung

TheNeighbor12 aktiv_icon

20:14 Uhr, 13.10.2021

Hallo! :-)

Kann mir hier vielleicht jemand weiter helfen?
Und zwar bin ich mir nämlich nicht ganz so sicher, ob ich das alles auch richtig gerechnet habe, daher wollte ich fragen, ob jemand vielleicht kurz einen Blick drauf werfen könnte?

Die Aufgabe lautet wie gefolgt:

| x + 1 | + | x - 1 | + | x + 3 | = 3 + x

Mein Ansatz:

1 .)

Fallunterscheidung

Fall

1 a .)

x + 1 + | x - 1 | + | x + 3 | \to

für

x \geq - 1

- (x + 1) + | x - 1 | + | x + 3 | \to

für

x < - 1

Fall

1 b .)

x + 1 + x - 1 + | x + 3 | \to

für

x \geq 1

x + 1 - (x - 1) + | x + 3 | \to

für

x < 1

Fall

1 c .)

x + 1 + x - 1 + x + 3 \to

für

x \geq - 3

x + 1 + x - 1 - (x + 3) \to

für

x < - 3

2 .)

Lösungsmengen der einzelnen Fälle bestimmen

Fall

1 : x \geq - 1, x \geq 1, x \geq - 3

x + 1 + x - 1 + x + 3 = 3 + x

3 x + 3 = 3 + x

2 x = 0

x = 0

\to L 1 = {0}

. .

.

Bevor ich hier weiter mache, muss ich wissen, ob es bis jetzt stimmt...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

20:55 Uhr, 13.10.2021

.
Tipp:

stell dir doch mal die Funktion

\to f (x) = | x + 1 | + | x - 1 | + | x + 3 | - (3 + x)

graphisch dar ..

dann siehst du : lineares Verhalten in folgenden Intervallen:

x < - 3

- 3 < x < - 1

- 1 < x < 1

x > 1 ... ... ... ...

. (Beispiel: .. für

x > 1

ist

f (x) = 2 x

... .

. .. denn für

x > 1

kannst du alle Betragszeichen weglassen

\to f (x) = x + 1 + x - 1 + x + 3 - 3 - x =

?

und du siehst, dass

f (x) \geq 2

ist für alle

x \in ℝ

was heisst das dann für die Lösung(en) deiner Gleichung->

| x + 1 | + | x - 1 | + | x + 3 | = 3 + x

TheNeighbor12 aktiv_icon

21:21 Uhr, 13.10.2021

Das bedeutet, dass die Gleichung also für alle

x

∈ ℝ gilt, also L=

]

-∞ ; ∞[ gilt, oder?

rundblick aktiv_icon

21:36 Uhr, 13.10.2021

.
Nein

das Bild ist dir nicht ganz gelungen .. :-)

probier es nochmal

Beispiel :
im Intervall

- 1 < x < 1

ist

f (x) = 2 .

. (also konstant=> Bild in

- 1 < x < 1

parallel zur x-Achse!)

Verlauf von

f (x) = | x + 1 | + | x - 1 | + | x + 3 | - (3 + x)

für alle

x > 1 \to

siehe schon oben!) usw..

und:
deine Schlussfolgerung aus deinem Bild ist dann leider völlig falsch .. überlege genauer..
bei deiner Aufgabe ist doch nach den Nullstellen von

f (x)

gefragt..oder?

f (x) = 0 . . \Rightarrow .

| x + 1 | + | x - 1 | + | x + 3 | = (3 + x) .

. :-)
also..?

.

TheNeighbor12 aktiv_icon

22:18 Uhr, 13.10.2021

Oh ja, stimmt eigentlich, der Graph war komplett falsch, tut mir leid... ;-)

Also ich habe mal das lineare Verhalten in folgenden Intervallen untersucht:

Für

x < (- 3)

ist

f (x) = f (x - 1) + 4

Für

(- 3) < x < (- 1)

ist

f (x) = 2 \cdot x

Für

(- 1) < x < 1

ist

f (x) = 2

Für

x > 1

ist

f (x) = 2 \cdot x

Und wenn ich mir den Graph so ansehe, dann gibt es eigentlich KEINE Nullstelle, da immer gilt:

f (x) > 0

rundblick aktiv_icon

22:46 Uhr, 13.10.2021

.
das Bildchen ist ja jetzt super gut .. :-)
und ja - die Antwort auf die gestellte Frage ist also:
es gibt kein

x \in R,

das die Gleichung

| x + 1 | + | x - 1 | + | x + 3 | = (3 + x)

erfüllt..

ach ja :"Für

(- 3) < x < (- 1)

ist f(x)=2⋅x "

\leftarrow .

. wirklich ??
und für

x < - 3

ist

f (x) = - 4 x - 6

ok?
.

TheNeighbor12 aktiv_icon

23:11 Uhr, 13.10.2021

Vielen Dank, wusste nicht, dass man das auch so lösen kann, dann hätte ich mir davor mit den ganzen Fällen so einiges an Arbeit erspart... Super Danke! :-)

〉

ach ja :"Für

(- 3) < x < (- 1)

ist

f (x) = 2 \cdot x

" ←.. wirklich ??

\to

Nicht wirklich, sondern es sollte eher richtig lauten: Für

(- 3) < x < (- 1)

ist

f (x) = (- 2) \cdot x

〉

und für

x < (- 3)

ist

f (x) = (- 4) \cdot x - 6,

ok?

\to

Aso, hab' mir schon die ganze Zeit gedacht, wie man das am Besten darstellen könnte. Danke Dir! :-)

rundblick aktiv_icon

23:20 Uhr, 13.10.2021

.
" wie man das am Besten darstellen könnte"

f (x) = | x + 1 | + | x - 1 | + | x + 3 | - (3 + x)

für

x < - 3 \Rightarrow

f ((x) = - x - 1 - x + 1 - x - 3 - 3 - x = - 4 x - 6

ok? :-)

TheNeighbor12 aktiv_icon

23:35 Uhr, 13.10.2021

Oh, total vergessen, dass man hier ja die Fälle noch mit einbeziehen hätte können...Naja... :-)

Vieeeeeeelen Dank für Deine super tolle Hilfe

+

mega Tipps! Du hast mir wirklich ordentlich auf die Sprünge geholfen. Ich würde sagen, jetzt haben wir beide unseren Schlaf verdient. ;-)

HAL9000

08:48 Uhr, 14.10.2021

Die Aufgabe lässt sich auch algebraisch ohne Fallunterscheidung lösen: Per Dreiecksungleichung gilt

∣ x + 1 ∣ + ∣ 1 - x ∣ \geq ∣ x + 1 + 1 - x ∣ = 2

, und außerdem ist ja

∣ x + 3 ∣ \geq x + 3

, es folgt

3 + x = ∣ x + 1 ∣ + ∣ x - 1 ∣ + ∣ x + 3 ∣ \geq 2 + x + 3

0 \geq 2

, Widerspruch.

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08:55 Uhr, 14.10.2021

@HAL:
Immer wieder faszinierend zu sehen, auf was du alles kommst! Chapeau!

TheNeighbor12 aktiv_icon

19:31 Uhr, 14.10.2021

@HAL9000

Interessant, wäre natürlich auch eine Möglichkeit gewesen, vielen Dank! ;-)

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