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Betragsgleichung mit 2 Beträgen und 2 Variablen

Universität / Fachhochschule

Tags: Betrag, Betragsgleichung, Variabeln

Dragonfly7 aktiv_icon

20:48 Uhr, 06.11.2010

So jetzt habe ich noch ein Problem mit folgender Gleichung:

|x^2-x|+|x-a|=0

Ich hab durch probieren herrausgefunden, dass es Nullstellen giebt wenn a=x=1 oder a=x=0 für alle anderen a giebt es keine Nulstellen (hab mir eine Kurvenschar vom Taschenrechner machen lassen).

Das Ganze habe ich dann, noch von Hand ausgerechnet mit 4 Fallunterscheidungen.

1.Fall x^2-x<=0 und x-a<=0

-->x<=1

-->x<=a

-x^2+x-x+a=0

----> a=x^2

2.Fall x^2-x<=0 und x-a>=0

-->x<=1

--> x>=a

-x^2+x+x-a=0

x= 1+ $\sqrt{1 - a}$ und x=1- $\sqrt{1 - a}$

3.Fall x^2-x>=0 und x-a>=0

-->x>=1

-->x>=a

----> x^2-x+x-a=0

---> a=x^2

4.Fall x^2-x>=0 und x-a<= 0

--> x>=1

-->x<=a

---> x^2-x-x+a=0

---> x=1+ $\sqrt{1 - a}$ und x=1- $\sqrt{1 - a}$

So das sind die Lösungen, die ich bekommen habe beim Rechnen. Ich weis aber nicht wie ich die interpretieren soll(,oder ob die überhaupt stimmen). Da ich ja weis, dass nur für a=1 oder a=0 eine Nullstelle erhalten kann, aber sonst für kein anderes a. (oder darf ich davon gar nicht ausgehen, weil ich das durch probieren gekriegt hab?)

Wäre auf jedenfall super wenn mir jemand helfen undoder erklären könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

nieaufgeber aktiv_icon

21:02 Uhr, 06.11.2010

| x^{2} - x | + | x - a | = 0

2 Möglichkeiten:

| x^{2} - x | < 0, | x - a | > 0 \to - x^{2} + x + x - a = 0 \to x^{2} - 2 x + a = 0

| x^{2} - x | > 0, | x - a | < 0 \to x^{2} - x - x + a = 0 \to x^{2} - 2 x + a = 0

x1=1+Wurzel(1-a)
x2=1-Wurzel(1-a)

Da ich ja weis, dass nur für

a = 1

eine Nullstelle erhalten kann(?)?! du kriegst keine Nullstelle für

a = 1

außerdem sollst du eine Nullstelle so bestimmen:

x =

etwas.mal

a!

und nicht

x = a = 0

oder

x = a = 1!

Dragonfly7 aktiv_icon

21:32 Uhr, 06.11.2010

Ich habe a als einen Parameter angesehen. Dann habe ich mir von meinem Taschenrechner die Funktion y=|x^2-x|+|x-a| mit verschiedenen a zeichnen lassen.

Dabei habe ich dann festgestellt dass es nur Nullstellen geben kann wenn a=1 oder a=0 ist. Wenn a=0 ist dann ist die Nullstelle bei x=0, wenn a=1 dann ist die Nullstelle bei x=1.

Für alle anderen a schiebt sich die Funktion nach oben und schneidet/berührt die x-Achse gar nicht mehr.

Demnach dürfte ich ja gar keine Lösungen für meine Gleichung erhalten, wenn a nicht 1 oder 0 ist.

pleindespoir aktiv_icon

23:51 Uhr, 06.11.2010

Beitrag ersetzt durch überarbeitete Version

Dragonfly7 aktiv_icon

12:03 Uhr, 07.11.2010

Hm da hab ich 2 Fragen zu:

1.) Warum die Fallgrenzen x=0 und x=a, bzw wo wurde das schon erwähnt

2.) Wie untersucht man dann die Intervalle I bis VI? Kommt jetzt komisch aber das hatte ich noch nie in der Schule und auf der Uni bin ich erst seit kurzem.

pleindespoir aktiv_icon

03:09 Uhr, 08.11.2010

Beitrag ersetzt durch überarbeitete Version

Dragonfly7 aktiv_icon

20:13 Uhr, 08.11.2010

das ist nett von dir, aber es hat sich schon erledigt.

Ich habe,wie mir geraten, das Hirn angeschalten und festgestllt, dass ein Betrag+ ein Betrag nur Null sein kein, wenn beide Beträge gleich Null sind:

|a|+|b|= 0 für a=b=0

trotzdem danke

pleindespoir aktiv_icon

20:36 Uhr, 08.11.2010

Das ist allerdings die beste Lösung, die du herausgearbeitet hast!

Spart ne Menge Zeit!

Dragonfly7 aktiv_icon

20:42 Uhr, 08.11.2010

Hm meinst du, dass ich diese Fallunterscheidungen noch machen muss?

Würde meine Überlegung nicht ausreichen?

pleindespoir aktiv_icon

20:46 Uhr, 08.11.2010

Nein, Fallunterscheidung ist tatsächlich unnötig hier - habe ich auch nicht gleich erkannt.

Du warst schon auf dem richtigen Weg :

Der linke Betrag gibt vor, dass x entweder 0 oder 1 sein muss - der rechte, dass a=x sein muss, um die Gleichung zu erfüllen.

Habe ich irgendwie viel zu kompliziert gesehen und mich da etwas verwurschtelt.

Dragonfly7 aktiv_icon

20:48 Uhr, 08.11.2010

selbiges Problem hatte ich auch hab ander aufgabe bestimmt 3h gesessen.

und dann war sie eigentlich kinderleicht -.-

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