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Betragsstriche beim Quotientenkriterium

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: - Betragsstriche, - Quotientenkritierium, Folgen, Reihen

tshwane aktiv_icon

13:04 Uhr, 05.04.2010

Hallo,

ich habe eine Frage bezüglich des Quotienten bzw. Wurzelkriteriums:

Warum setzt man beim Betragsstriche? Mir ist klar, dass dadurch die absolute Konvergenz gewährleistet wird, aber gibt es noch einen anderen Grund?

Ich hab irgendwo gelegsen, dass der Beweis über das Majorantenkriterium mit einer geometrischen Reihe als konvergente Majorante geführt wird, stimmt das?

viele Dank für die Hilfe!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

13:21 Uhr, 05.04.2010

Mit

a_{n} := {(- 2)}^{n}

und

q := \frac{1}{10}

gilt

\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} \leq q < 1,

also das Quotientenkriterium mit weggelassenen Betragsstrichen.
Die zugehörige Reihe ist jedoch weder absolut noch überhaupt konvergent.

Beim Wurzelkriterium verwendet man

\sqrt[n]{| a_{n} |}

statt

\sqrt[n]{a_{n}}

schon alleine deshalb, damit der Ausdruck überhaupt immer definiert ist

tshwane aktiv_icon

22:36 Uhr, 05.04.2010

Hm,

aber wenn ein Kriterium der Konvergenz nicht greift ist dies doch nicht gleichzusetzen mit Divergenz....sondern mit dem speziellen Kritierum ist einfach kein Aussage möglich; dachte ich zumindest;

aber das mit dem Verweis auf die Majorante stimmt wohl nicht?

hagman aktiv_icon

17:11 Uhr, 07.04.2010

Das verfälschte Quotientenkriterium greift bei meinem divergenten Beispiel, ist also fehlerhaft und pfui.

Beim verfälschten Wurzelkriterium hast du recht, dass es ohne Betragsstriche halt in vielen Fällen nicht greift (weil Terme nicht definiert sind). Es ist in der Form nur auf nichtnegative Folgen anwendbar - und sagt dort natürlich dasselbe aus wie das "ordentliche" Wurzelkriterium, denn in diesem Fall sind die Betragsstriche ja unerheblich.

Das mit der Majoranten stimmt durchaus:
Sei

q < 1

und

\frac{| a_{n + 1} |}{| a_{n} |} \leq q

für alle

n

(und natürlich

a_{n} \neq 0

für alle

n)

Dann ist allgemein

| a_{n} | \leq q^{n} | a_{0} |

und folglich für jedes

N \in ℕ

\sum_{k = 0}^{N} | a_{k} | \leq | a_{0} | \cdot \sum_{k = 0}^{N} q^{k} < | a_{0} | \cdot \sum_{k = 0}^{\infty} q^{k} = \frac{| a_{0} |}{1 - q}

woraus die Konvergenz von

\sum_{k = 0}^{\infty} | a_{k} |, d . h

. die absolute Konvergenz von

\sum_{k = 0}^{\infty} a_{k}

folgt.
Beim Wurzelkriterium geht es ähnlich:
limsup

\sqrt[n]{| a_{n} |} = C < 1

bedeutet mit

q := \frac{C + 1}{2},

dass

\sqrt[n]{| a_{n} |} < q

bzw.

| a_{n} | < q^{n}

für fast alle

n

gilt.

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