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Betrags(un-)gleichungen beweisen

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Tags: Betragsgleichung, Betragsungleichung

TheNeighbor12 aktiv_icon

21:06 Uhr, 14.10.2021

Hallo! :-)

Ich habe hier folgende Aufgabe und zwar, dass ich für alle

a, b

∈

R

zeigen soll, dass

(1)

| a \cdot b | = | a | \cdot | b |

(2)

| | a | - | b | | \leq | a - b |

gilt.

Ich habe schon einen Ansatz, jedoch wäre es nicht schlecht, wenn vielleicht doch noch jemand kurz einen Blick drauf werfen könnte..

\to

Mein ANSATZ für

(1) :

Hier habe ich das ganze mit der Fallunterscheidung gelöst, dabei gibt es genau vier Fälle, die hier zu untersuchen sind:

(1)

a \geq 0, b \geq 0 \to | a | = a, | b | = b

(2)

a < 0, b \geq 0 \to | a | = - a, | b | = b

(3)

a \geq 0, b < 0 \to | a | = a, | b | = - b

(i)

a < 0, b < 0 \to | a | = - a, | b | = - b

> 1

. FALL:

| a \cdot b | = a \cdot b

| a | \cdot | b | = a \cdot b

> 2

. FALL:

| a \cdot b | = | (- a) \cdot b | = | (- 1) \cdot a \cdot b | = | - a \cdot b | = - a \cdot b

| a | \cdot | b | = - a \cdot | b | = - a \cdot b

> 3

. FALL:
Geht aus dem aus dem zweiten Fall hervor, da

| a | \cdot | b | = | b | \cdot | a |

und

| a \cdot b | = | b \cdot a |

gilt.

> 4

. FALL:

| a \cdot b | = | (- a) \cdot (- b) | = | (- 1) \cdot a \cdot (- 1) \cdot b | = (- a) \cdot (- b)

| a | \cdot | b | = (- a) \cdot (- b)

\Rightarrow

Da wir nun in allen 4 Fällen gezeigt haben, dass

| a \cdot b | = | a | \cdot | b |

gilt, können wir daraus folgern, dass die Aussage gilt.

\to

Mein ANSATZ für

(2) :

Da folgendes gilt:

| a | = \sqrt{a^{2}}

Können wir daraus folgendes schließen:

| a - b | \geq | | a | - | b | | \Rightarrow \sqrt{{(a - b)}^{2}} \geq \sqrt{{(\sqrt{a^{2}} - \sqrt{b^{2}})}^{2}}

.

Beide Seiten können quadriert werden und somit haben wir die Aussage bewiesen für alle

a, b

∈ R.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

N8eule

23:36 Uhr, 14.10.2021

1)

absolut ok

zu

2)

Achtung! Quadrieren ist keine Äquivalenz-Umformung.
Du hast deinen Beitrag und Fortgang zwar nicht weiter ausgeführt, nur in Worten angekündigt.
Ich ahne aber, wenn wir wie vorgeschlagen fortführen,
dann wird aus der Ungleichung plötzlich eine Gleichheit, obwohl die ursprüngliche Aussage durchaus auch Ungleichheiten behandelt und konstruieren lässt.

michaL aktiv_icon

11:08 Uhr, 15.10.2021

Hallo,

> zu 2) Achtung! Quadrieren ist keine Äquivalenz-Umformung.

In dem Fall schon, da

q : {\begin{array}{rcl} ℝ_{\geq 0} & \to & ℝ_{\geq 0} \\ x & \mapsto & x^{2} \end{array}

eben doch bijektiv ist.

Ich würde nur vorab

q (x) = q (∣ x ∣)

zeigen, was sich aber aus (1) ergibt. Das und Anwendung von (1) in der binomischen Formel ergibt nach der Äquivalenzumformung Quadrieren schnell das gewünschte.

Mfg Michael

TheNeighbor12 aktiv_icon

19:03 Uhr, 15.10.2021

Vielen Dank für die ganzen Hinweise! :-)

Also zu

(2) :

Lässt sich das eventuell auch so lösen?

(1)

| | a | - | b | \leq | a - b |

(2)

. ||a|−|b||^2

\leq {| a - b |}^{2}

(3)

a^{2} - 2 \cdot | a \cdot b | + b^{2} \leq a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2}

(4)

\sqrt{a^{2} - 2 \cdot | a \cdot b | + b^{2}} \leq \sqrt{a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2}}

(5)

a \cdot b \leq | a \cdot b |

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