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Betragsungleichung Lösen mit 2 Beträgen

Universität / Fachhochschule

Tags: Betrag, Betragsungleichung

kkkRIO aktiv_icon

18:52 Uhr, 09.02.2019

Hallo Community,
ich schaffe es einfach nicht diese Ungleichung hier zu lösen:

8 > | x - 1 | + | x + 3 |

Laut Wolframalpha ist das Ergebnis

(- 5,1)

Ich komme da aber auf

(- 5, - 3)

und

(1; 3)

Also die Fälle wo der erste Betrag positiv und der andere negativ ist und andersrum funktionieren ja nicht. Beim letzen Fall, für

x < 1

und

x < - 3

die Lösung

x ≻ 5

Da ist doch die engere Bedingung

- 3

oder?

Ich hoffe es kann jemand helfen
Gruß kkkRIO

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

abakus

18:57 Uhr, 09.02.2019

"Ich komme da aber auf (-5,-3) und (1;3)"

Dann mache die Probe z.B. für x=-2 oder x=0 und stelle fest, dass das auch eine Lösung ist.
Und eine Probe für x=2 zeigt, dass das doch keine Lösung ist.

HAL9000

20:11 Uhr, 09.02.2019

@kkkRIO

Offenbar hast du den "mittleren" Fall

- 3 \leq x \leq 1

vergeigt:

In diesem Fall ist

∣ x - 1 ∣ = - (x - 1)

und

∣ x + 3 ∣ = x + 3

, setzt man dies ein wird die Ungleichung zu

8 > 4

.

Das ist immer (d.h. für alle

x

aus diesem Fall) erfüllt, also gehört das ganze Fallintervall

[- 3, 1]

mit zur Lösungsmenge!

anonymous

22:20 Uhr, 09.02.2019

Hallo
Irgendwie scheinen hier doch einige Missverständlichkeiten, Unzulänglichkeiten und unzureichende Ausdrucksweisen zu herrschen.

"Laut Wolframalpha ist das Ergebnis (-5,1)"
Ich ahne das wollte das Intervall

] - 5; 1 [

heissen.
Und ich bin überzeugt, dass Wolframalpha das durchaus besser kann, wenn man es richtig bedient.

Sind wir uns einig(?):
Es sind grundsätzlich 3 Fälle zu unterscheiden, begrenzt von den "Eckwerten", an denen die Betrags-Argumente ihr Vorzeichen ändern, also:
1. Fall:

x < - 3

2. Fall:

- 3 < x < 1

3. Fall:

1 < x

Schließlich empfehle auch ich die Probe.
Gerne auch, wie schon angeregt, die Probe beim Beispiel

x = 2

Anders als mein Vorredner komme ich dabei zum Schluss, dass man hier leicht zur Erkenntnis gelangen könnte, dass das doch eine Lösung ist.

Willst du einfach mal die 3 Fälle vorführen?

rundblick aktiv_icon

22:28 Uhr, 09.02.2019

8 > | x - 1 | + | x + 3 |

"Und eine Probe für

x = 2

zeigt, dass das doch keine Lösung ist."
..

e c h t

\to

Probe:

8 > | 2 - 1 | + | 2 + 3 | .

. Und NUN : ist 8 grösser als

1 + 5 .

. oder nicht ?

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

ALSO:

... .

. die Ungleichung

8 > | x - 1 | + | x + 3 |

... .

. ist doch erfüllt für ALLE

x

mit

\to - 5 < x < 3 . .

. oder ?

- - - - - - - - - - - - - - - - - - -

und dazu:

" Fälle wo der erste Betrag positiv und der andere negativ ist "

\to

falls sich das wirklich noch nicht bis zu den Universitäten herumgesprochen hat

\to

BETRÄGE sind IMMER

\geq 0 ... ... ... .

. also NIE negativ .

ok?

und schade:
da sind doch oben wahrlich gleich drei farblose (unGrüne) heimliche Herumschleicher
von denen Mann nicht wissen darf, ob sie (noch) anwesend sind .. usw, usw..
.

kkkRIO aktiv_icon

23:15 Uhr, 09.02.2019

Okey, erstmal danke für die vielen Antworten!
Ich habe das jetzt nochmal im Anhang aufgeschrieben soweit ich das verstanden habe. Den letzten Schritt kann ich leider noch nicht ganz nachvollziehen also das Verknüpfen der Lösungsmengen.

rundblick aktiv_icon

23:53 Uhr, 09.02.2019

1) \to

schön wäre es, wenn gelegentlich etwas gedacht würde:

Beispiel :
deinen Fall zwei

\to [x - 1 \geq 0

..UND..

x + 3 < 0] \to

kannst du doch eh gleich vergessen

!!

denn

x

kann doch nicht gleichzeitig grösser als 1 UND kleiner als

- 3

sein ?!

(male dir die 2 Intervalle doch auf der x-Achse je mit einer anderen Farbe an ..wo ist doppelt bunt?)

2) \to

also schau dir dies nun so in jedem deiner restlichen drei Fälle an (farbig!) :
in welchem Bereich der x-Achse bekommst du es jeweils doppelt bunt (nach Vor.)?
und

n u r

dort gilt dann das, was du dazu jeweils anschliessend ermittelt hast..

Beispiel:

x - 1 < 0 .

. UND ..

x + 3 < 0 \Rightarrow

ergibt (doppelt bunt)

\to

die Menge aller

x

mit

x < - 3

und wenn du für diesen Fall 4 dann herausbekommst, dass dann dort für deine Aufgabe gilt,
dass

x > - 5

sein muss

\to

dann liefert dieser Fall 4 dir den Teil-Lösungsbereich

\to - 5 < x < - 3

ok ?
usw ..

kannst du jetzt die drei Bereiche "zusammenbasteln" ?

\to ... . .

?
.

Bummerang

10:59 Uhr, 11.02.2019

Hallo,

bei Aufgaben wie dieser, kann man sich zunächst mal eine geometrische Vorstellung dessen machen, was da als Ungleichung steht.

Gegeben ist der Zahlenstrahl von

- \infty

bis

+ \infty,

darauf der Nullpunkt und die beiden reellen Zahlen

- 3

und 1. Jetzt wähle ich irgendwo auf dem Strahl ein

x

und was bedeuten dann

| x + 3 |

und

| x - 1 |

? Das sind die beiden Abstände von den Zahlen

- 3

und

1,

und die werden nur als Summe betrachtet und die Summe soll kleiner als 8 sein. Da kommt man doch, zumal der Abstand der gegebenen Zahlen

- 3

und 1 kleiner als die gegebenen 8 ist, in Versuchung, das Problem vom Zahlenstrahl in die Zahlenebene zu verlegen. Also geben wir uns im Nullpunkt noch eine zweite Achse. Was bilden in dieser Ebene die Punkte, deren Abstände von zwei gegebenen Punkten

(- 3; 0)

und

(1; 0)

als Summe den gleichen Wert, sagen wir mal Summe

8,

ergeben? Eine Ellipse, deren beide Brennpunkte die gegebenen Punkte

(- 3; 0)

und

(1; 0)

sind! Und was ist ursprünglich gesucht? Die Punkte innerhalb der Ellipse, die auf der zuerst gegebenen Zahlengeraden liegen. Welche Punkte sind das? Die Punkte zwischen den beiden Scheitelpunkten der Ellipse, die auf der zuerst gegebenen Zahlengeraden liegen, diese Punkte bilden mit den Scheitelpunkten zwei Mal die große Halbachse oder schlicht die große Achse. Der Wert 8 entspricht deshalb dem doppelten Wert der großen Halbachse und die beiden Scheitelpunkte haben vom Mittelpunkt der Ellipse (dem Mittelpunkt zwischen den beiden Brennpunkten) den gleichen Abstand

\frac{1}{2} \cdot 8 = 4,

den der Länge einer großen Halbachse. Der Mittelpunkt der beiden Brennpunkte

(- 3; 0)

und

(1; 0)

ist

(- 1; 0)

. Deshalb ist die Aufgabenstellung

8 > | x - 1 | + | x + 3 |

auf der Zahlengeraden identisch zur Aufgabenstellung

4 > | x + 1 |

Ohne großes Rechnen

(\frac{1}{2} \cdot 8 = 4

und

\frac{1}{2} \cdot (- 3 + 1) = - 1

sollte niemanden wirklich überfordern) kann man dieses Problem auf ein viel einfacheres, viel leichter zu lösendes Problem reduzieren. Die Lösungsmenge dieser Aufgabe sollte eigentlich jeder im Kopf ermitteln können. Für die, die das nicht schaffen:

- 4 < x + 1 < 4 | - 1

- 5 < x < 3

Die Lösung ist also

(- 5; 3)

bzw. wie einige gern schreiben

] - 5; 3 [

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