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Betragsungleichung lösen

Universität / Fachhochschule

Tags: Betragsungleichung, Bruchungleichung

 
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Aquamen

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00:55 Uhr, 19.01.2018

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Hallo Leute,

ich habe eine Frage zu einer Übungsaufgabe die ich einfach nicht gelöst bekomme, welche wie folgt lautet:

x-|2x+4|>1-|x-2|

Die Fallunterscheidung ist ja noch leicht, 2x+4(größergleich)0, und 2x+4<0, woraus sich 4 Fälle ergeben

1.ax-2x+4>1-x-2
1b. x-2x+4>1-(x-2)
2a. x-(2x+4)>1-x-2
2b. x-(2x+4)>1-(x-2)

Und ja genau hier hänge ich beim Lösen der Gleichungssysteme irgendwie bekomme ich bei jedem Durchrechnen andere Werte raus, ich denke ich mache andauern Fehler bei den Vorzeichen.

So habe ich für:

1a. 0>(-5)
1b. x<2.5
2a. x>(-5)
2b. x>1.5

als Ergebnisse..

DIe übrigen Werte sind bei
1a. x≥-2 und x≥2
1b. x≥-2 und x<2
2a. x<-2 und x≥2
2b. x<-2 und x<2

Jedoch schmeisst der Onlinerechner das hier als Ergebnis (-2,5;-1,5), also ich steh hier echt auf dem Schlauch..
Würde mich auf eine baldige Rückmeldung freuen.

Mit freundlichen Grüßen
Aqua



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ledum

ledum aktiv_icon

01:14 Uhr, 19.01.2018

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Hallo
deine falle hast du sehr eigenartig aufgeschrieben. 2x-4>0 Betrag durch Klammer ersetzen. 2x-4<0 Betrag durch (4-2x) ersetzen. dasselbe mit x-2<0 und x-2>0
irgendwie hast du die Klammern nicht gesetzt oder falsch aufgelöst.
wenn wir deine fehler finden sollen, musst du schon vorrechnen
etwa x≥-2 und x≥2 ist sinnlos, wenn x>2 ist ist es aich größer -2
a und b widersprechen sich.
aber deine Ungleichungen ohne Betrag sind ja zum Teil falsch.
zu viele Fallunterscheidungen wenn x-2>0 ist auch 2x+4>0 wenn 2x+4<0 ist auch x-2<0
Gruß ledum
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Roman-22

Roman-22

01:20 Uhr, 19.01.2018

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Wie kommst du gleich zu Beginn beim Fall 1a) links auf den Ausdruck x-2x-4>... ?
Wenn 2x+40 ist, dann muss dass x-(2x+4)>... lauten und wenn 2x+4<0 ist, dann lautet es x+2x+4>...

Außerdem musst du nur drei Fälle unterscheiden
|2x+4| hängt davon ab, ob x-2 ist oder ob x<-2
|x-2| hängt davon ab, ob x2 ist oder ob x<2

Daher gibt es nur die Fälle
1) x<-2
2) -2x<2
3) x2

Anders gesagt, von deinen vier Fällen kann (2x+4)<0 und (x-2)0 nie eintreten, denn aus x-20 folgt automatisch auch 2x+4>0.

Aquamen

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19:00 Uhr, 19.01.2018

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Erstmal Danke für eure Rückmeldungen.

Das mit den 3 Fällen habe ich jetzt verstanden nur wieso muss ich bei x-(2x+4) die Klammer setzen?

Am besten ich füge mal meine Rechnung mit bei :-D)

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Antwort
Roman-22

Roman-22

20:45 Uhr, 19.01.2018

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> wieso muss ich bei x−(2x+4) die Klammer setzen?
Wegen des Minus-Zeichens davor.

Für 2x+40 ist |2x+4|=2x+4 und das Negative von 2x+4 ist eben -2x-4
Aquamen

Aquamen aktiv_icon

02:28 Uhr, 20.01.2018

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Danke, ich merke das ich beim Ungleichung auflösen, eben das ich vergessen habe die Klammer wegen dem (-) zu setzten, Fehler gemacht habe.
Nun habe ich als Ergebnis auch -2,5 und -1,5 raus.

Jedoch nochmal zu den Fällen:

Das nur 3 Fälle existieren wurde mir klar, nur wie Rechne ich von den jeweiligen Fällen die Lösungsmenge um dann als Gesamtlösungsmenge eben (-2,5;-1,5), rauszubekommen?
Da hakt es im Moment noch

Also die Lösungsmenge zu:
1. x<-2
2. -2x<2
3. x2

Da ich in meiner Rechnung 4 Fälle durchgerechnet habe (wobei einer eine Leere Lösungsmenge hat), weiß ich nicht was für Rechnungen ich jetzt den 3g Fällen zuordnen muss :
Antwort
supporter

supporter aktiv_icon

08:01 Uhr, 20.01.2018

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x−|2x+4|>1−|x−2|

1.x<-2

x+2x+4>1+x-2
2x5
x>-2,5

2. -2x<2

x-2x-4>1+x-2
-3>2x
x<-1,5

3.x>2
x-2x-4>1-x+2
0>7 (falsch)

L=]-2,5;-1,5[

http//www.wolframalpha.com/input/?i=x%E2%88%92%7C2x%2B4%7C%3E1%E2%88%92%7Cx%E2%88%922%7C


Aquamen

Aquamen aktiv_icon

21:43 Uhr, 21.01.2018

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blöde frage, aber was wäre wenn der 3. Fall auch eine Lösung hätte? Dann zwischen 1-3 Fall den größten und kleinsten Wert in die Lösungsmenge schreiben oder?
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Roman-22

Roman-22

22:06 Uhr, 21.01.2018

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> was wäre wenn der 3. Fall auch eine Lösung hätte?
Egal wie viele Fälle du untersuchen musst und egal was bei diesen jeweils rauskommt, am Ende musst du immer alle Teillösungsmengen vereinigen um zur Gesamtlösungsmenge zu kommen.

supportes Aufschrieb ist ja ein wenig irreführend, weil er dich vielleicht in dem Glauben lässt, dass im ersten Fall die Lösung x2,5 sei. Aber das stimmt nur bedingt, denn die ganze Rechnerei gilt ja nur unter der Annahme, dass x<-2 sei.
Daher ist die Lösungsmenge im ersten Fall L1=(-2,5; -2).
Beim zweiten Fall ist analog die Lösungsmenge L2=[-2; -1,5) und im dritten Fall ist sie eben die leere Menge L3={}.

Die Gesamtlösungsmenge bildet sich dann immer in der Vereinigung aller Teillösungsmengen, also L=L2L2L3=(-2,5; -2)[-2; -1,5){}=(-2,5; -2]

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