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Betragsungleichung lösen + Abbildungen

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Tags: Abbildung, Betrag, Betragsungleichung, Funktion, Sonstiges, Ungleichung

Animos aktiv_icon

17:34 Uhr, 13.10.2013

Hey, ich habe hier zwei Ungleichungen für die ich angeben soll, für welches

x

sie gelten.

| 2 x^{2} - 3 | \leq x + 1

| 2 x^{2} - 3 | < 0

3 - 2 x^{2} \leq x + 1

umgeformt auf

x \geq \sqrt{- 2 x + 4}

| 2 x^{2} - 3 | > 0

2 x^{2} - 3 \leq x + 1

umgeformt auf

x \leq \sqrt{2 x + 8}

passt das schon oder muss ich noch etwas machen?

und:

| x + 1 | - | 2 x - 6 | \leq 10

Hier habe ich keine Idee wie forme ich das um?
Einen der beiden Beträge auf die andere Seite bringen und dann fuer den alleinstehenden wieder die Fallunterscheidung machen, und das fuer beide?

zudem:
Bestimme die Abbildungen von

f : Q \to R

für die

x

,y€Q

: f (x + y) = f (x) + f (y)

Was soll ich hier machen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

rundblick aktiv_icon

17:49 Uhr, 13.10.2013

"passt das schon oder muss ich noch etwas machen?"

\to

das passt überhaupt nicht

abgesehen davon, dass Beträge nie negativ sind

(\to

siehe dein Unsinn:

| 2 x^{2} - 3 | < 0)

du sollst doch die Intervalle für

x

herausfinden, für deren x-Werte die
Ungleichung erfüllt ist
also zB sowas am Schluss aufschreiben : als Beispiel:

0,78 < x < 1,68

oder so..
usw..

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

"und:
|x+1|−|2x−6|≤10
Hier habe ich keine Idee wie forme ich das um?"

\to

\to

bei Betragsungleichungen musst du nicht "Umformen", sondern

\to

FALLUNTERSCHEIDUNGEN machen

≺

Tipp dazu:
untersuche die Ungleichung in den folgenden drei Intervallen:

x < - 1

- 1 < x < 3

x > 3

und: falls du dich nicht verschrieben hast, wirst du am Schluss
bei diesem Beispiel eine ziemlich lustige Lösungsmenge herausfinden

. .

Animos aktiv_icon

19:21 Uhr, 13.10.2013

Okay,... Ich habe doch eine Fallunterscheidung gemacht, die mir nur nicht viel bringt, da ja noch ein

x

drin ist..

Ich habe jetzt mal umgeformt:

2 x^{2} - 3 > 0,

wenn

x > \pm \sqrt{\frac{3}{2}}

. . < 0,

wenn

x < \pm \sqrt{\frac{3}{2}}

Kann ich damit was anfangen? Was ist dann mit dem rechten

x

rundblick aktiv_icon

19:25 Uhr, 13.10.2013

dein Schluss, denn du aus

2 x^{2} - 3 .

. machst ist doch schon falsch..
denk nach ..

Ma-Ma aktiv_icon

19:28 Uhr, 13.10.2013

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Wie wär´s, wenn Du Dich selber mal schlau machst

. .

z . B

. hier:
http//members.dokom.net/w.kippels/aufgaben/betrag.pdf

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

. .

. und wieder weg.

rundblick aktiv_icon

19:31 Uhr, 13.10.2013

"Wie wär´s, wenn Du Dich selber mal schlau machst "

danke, MaMa - aber ich bin auch ohne das schon schlau .. (lach)

und für dich, Animos , noch ein ganz anderer Tipp, wie du klarkommen könntest

\to

mach dir mal ein Bildchen :

1) y = 2 x^{2} - 3

2)

spiegle den Teil der Parabel, der unter der x-Achse liegt an derselben

\to

du erhältst das Bildchen von

y = | 2 x^{2} - 3 |

3)

zeichne jetzt noch die Gerade

y = x + 1

ins Bild

4)

und schau nun, wo die Gerade oberhalb von

y = | 2 x^{2} - 3 |

Punkte hat

so .. dann siehst du vielleicht auch, wie du das fragliche Lösungsintervall
berechnen könntest ?

Ma-Ma aktiv_icon

19:38 Uhr, 13.10.2013

@rundblick: Scherzkeks

. .

. ich meinte doch nicht Dich, sondern den TE! LG Ma-Ma

rundblick aktiv_icon

19:43 Uhr, 13.10.2013

ok, MaMa ..
also darfst du jetzt zur Belohnung auch noch das lesen,
was ich oben auch noch notiert habe (für den Fragesteller)
.. gut - oder?

aber leider ist ja Animos abgetaucht, hoffentlich hast du ihn
nicht zu sehr erschreckt ?..

Animos aktiv_icon

20:24 Uhr, 13.10.2013

Also ich hab doch vorhin genau das gemacht was im doc steht. Nur weis ich eben nun nicht was ich mit dem Quadrat anfangen soll, wenn ichs umrechne steht ja wieder ein xunter der Wurzel.

In wie fern meinst du dass es ober der Geraden sein muss? Wenn steht

< x + 1

dann muss meine Lösungsmenge doch darunter liegen.
Der Graph sagt mir gar nix.
Es heißt doch: Alle Punkte mit der Bildungsvorschrift

| 2 x^{2} - 3 |

für die gilt

\leq x + 1

.
Dann wäre die Lösungsmenge etwa

- 1

bis

+

unendlich fuer

y = 0

und mit jedem weiteren Wert verschiebt sich das. Für größere y-Werte wird die Lösungsmenge kleiner und für geringere y-Werte größer.
Meinst du das?

rundblick aktiv_icon

20:40 Uhr, 13.10.2013

STUDENT?

y_{1} = | 2 x^{2} - 3 |

y_{2} = x + 1

Brille aufsetzen: für welche

\to x (!!!) -

Werte ist

y_{2}

GRÖSSER als

y_{1}

?

und zur Weiterbildung zu dem Fehlschluss von

19 : 21

Uhr,

13.10.2013

wenn

2 x^{2} - 3 > 0

... ... ... ... ... ... ... . .

. dann folgt NICHT

x > \pm \sqrt{\frac{3}{2}}

SONDERN

x < - \sqrt{\frac{3}{2}} .

. ODER ..

x > + \sqrt{\frac{3}{2}}

Tipp:

\to

schau, für welche x-Werte die Parabel

y = 2 x^{2} - 3

die Punkte OBERHALB der x-Achse hat
(das ist dort, wo

y > 0)

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{}

und noch dazu:
"In wie fern meinst du dass es ober der Geraden sein muss?"

\to

du solltest zumindest versuchen, zu lesen, was man dir notiert :
siehe

19 : 31

Uhr,

13.10.2013 \to

4)

und schau nun, wo die Gerade oberhalb von y=|2x2−3| Punkte hat

wer oder was ist da nun denn oben??

Animos aktiv_icon

23:32 Uhr, 13.10.2013

Ja, danke das mit der Wurzel ist klar..

Naja die Geradenwerte sind für

- 1

bis ungefähr

+ 1,8

größer als die der Parabel.

Ma-Ma aktiv_icon

23:43 Uhr, 13.10.2013

Sehe ich nicht so.

Schon mal Wertetabelle gemacht und das Ganze graphisch geprüft ?
Oder Online-Graph gezeichnet

z . B

. hier:
http//rechneronline.de/funktionsgraphen/

Animos aktiv_icon

20:57 Uhr, 14.10.2013

Ja, habe ich schon verwendet...
naja habe in der Nacht noch etwas gemalt und glaube ich weis worauf ihr raus wollt.
Wenn der betrag negativ ist dann wird es nach oben gespiegelt und das Intervall schränkt sich auf einen

+

x-Wert ein, wenn ich dann weiter nach rechts gehe ist der Schnittpunkt der Geraden und Parabel der letzte Wert bei dem die Gerade größer ist als die Parabel, da diese von "oben" kommt und dann bei

1,5

wieder nach oben "springt". So?

Habe mal so gemacht:

2 x^{2} - 3 \geq 0 \to 2 x^{2} - 3 \leq x + 1 < \to 2 x^{2} - x - 4 \leq 0 \to

Mitternachtsformel

x 1,2 = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{4}

Das wären dann die Nullstellen wenn sie sich schneiden, wenn es positiv ist.
Und

x 3,4 = \pm \sqrt{\frac{3}{2}}

wäre dann die Nullstellen für die Parabel.

Wenn ich dann sage

2 x^{2} - 3 < 0

auf

- 2 x^{2} - x + 2 < 0

komme ich auf

x 1,2 = \frac{- 1 \pm \sqrt{17}}{4}

Wenn der Betrag negativ ist, sind das die Nullstellten.

Wenn ich hiervon nun den größeren Wert nehme dann bin ich bei dem Schnittpunkt der Parabel wenn ich sie spiegle und der Geraden und dann noch das positive Ergebniss der Mitternatchsformel von vorhin komme ich zu dem letzen Wert wo die Gerade größer ist.
Intervall wäre also:

\frac{- 1 + \sqrt{17}}{4}

bis

\frac{1 + \sqrt{33}}{4}

So?
Ohne Graphen und viel rumprobieren wär ich nicht auf die Werte gekommen, kann man das auch rechnerisch zeigen? Habe im Endeffekt nur die Werte genommen die passen.

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