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Betragsungleichungen mit Betrag im Zähler

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Sonstiges

Tags: Betragsungleichung, Sonstiges, Ungleichung

 
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onkelzfan

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13:24 Uhr, 21.02.2010

Antworten
Hallo zusammen.

Ich habe ein Problem bei Betragsungleichungen.
Ich weiß, das wenn der Betrag im Nenner ist, ich schauen muss wann er 0 wird und dementsprechend weiter rechnen. Nun befindet er sich ja im Zähler. Muss ich hier trotzdem einfach nach x auflösen?
Hier mal die Aufgabe:

|x-1|x+1>1

Mir geht es im Prinzip nur um den ersten Schritt.
Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
pleindespoir

pleindespoir aktiv_icon

21:07 Uhr, 21.02.2010

Antworten
Fallunterscheidung ist auch hier notwendig.

Allerdings musst Du jetzt nicht darauf achten, ob der Betrag im Zähler Null wird, sondern wann der Nenner Null wird!
Antwort
hagman

hagman aktiv_icon

21:13 Uhr, 21.02.2010

Antworten
|x-1|x+1>1
Erstens: Es muss x≠-1 sein, denn sonst ist die linek Seite nicht definiert.
Zweitens: Man muss Fälle unterscheiden: a)x-1≥0(⇒|x-1|=x-1) bzw. b)x-1<0(⇒|x-1|=1-x)
Zu a): Wenn x-1≥0 (mit anderen Worten x≥1), haben wir
x-1x+1>1  |⋅(x+1) (NB: das ist >0)
⇔x-1>x+1
ist nicht erfüllbar
Zu b): Wenn x-1<0 (mit anderen Worten x<1), haben wir
1-xx+1>1
Wir möchten mit (x+1) multiplizieren, aber müssen wieder zwei Fälle unterschiedne: b.a)x+1>0 und b.b)x+1<0
Zu b.a): Multiplikation mit (x+1) liefert
1-xx+1>1
⇔1-x>1+x
⇔0>x
Zu b.b): Multiplikation mit (x+1) liefert
1-xx+1>1
⇔1-x<1+x
⇔0<x

Insgesamt also:
(x<1∧x+1<0∧0>x)∨(x<1∧x+1>0∧0<x)
⇔
x<-1∨0<x<1
Frage beantwortet
onkelzfan

onkelzfan aktiv_icon

15:10 Uhr, 26.02.2010

Antworten
Das hat mir mehr als geholfen, danke!