Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Betriebsminimum und Optimum

Betriebsminimum und Optimum

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Funktionalanalysis, Gleichungssystem

exo94 aktiv_icon

15:55 Uhr, 24.08.2011

geg.:

Bei 2ME werden minimale variable Stückkosten erreicht und die kurzfristige Preisuntergrenze beträgt

18

GE.
Minimale Stückkosten ergeben sich bei einer Ausbringungsmenge von 5ME
Fixkosten = 75GE

K (x) =

ax³+bx²+cx+d

wie rechne ich

k (x)

aus?

DmitriJakov aktiv_icon

16:01 Uhr, 24.08.2011

Was sind denn die variablen Stückkosten? Schreib das mal als erstes auf.

exo94 aktiv_icon

16:02 Uhr, 24.08.2011

wenn ich das wüsste

: O

DmitriJakov aktiv_icon

16:17 Uhr, 24.08.2011

Die variablen Kosten sind die Kostenbestandteile, die von der Produktionsmenge abhängen.

d

ist kein solcher Bestandteil, also fliegt

d

raus aus der Betrachtung der variablen Kosten, denn

d

stellt die Fixkosten dar.

K_{v} = a x^{3} + b x^{2} + c x

Das sind jetzt die variablen GESAMTkosten. Um zu den variablen STÜCKkosten zu kommen muss man

K_{v}

noch durch die produktionsmenge dividieren:

\frac{K_{v}}{x} = \frac{a x^{2} + b x^{2} + c x}{x} = a x^{2} + b x + c

Und diese variablen Stückkosten haben ihr Minimum dort, wo die 1. Ableitung von

\frac{K_{v}}{x}

Null wird. Berechne also die Stelle

x

wo dies der Fall ist.

Und der Funktionswert von

\frac{K_{v}}{x}

an dieser Stelle

x

ist gleich der kurzfristigen Preisuntergrenze.

Alle Klarheiten beseitigt?

exo94 aktiv_icon

16:22 Uhr, 24.08.2011

erstmal vielen danke :-)

. .

.

es geht also ich habe jetzt das rausbekommen:

d = 75

K(2)=18GE

= 8 a + 4 b + 2 c = 18

K'' (5) = 0 = 30 a + 10 b = 0

Kv(2)=0

= 4 a + 2 b + c = 0

ist das richtig?

wenn ja wie komme ich denn jetzt auf

K (x)

DmitriJakov aktiv_icon

16:36 Uhr, 24.08.2011

Das ist jetzt nicht ganz richtig.
Schreib nochmal die Gleichung hin für die minimalen variablen Stückkosten. Erinnere Dich, das war die Ableitung von

\frac{K_{v}}{x}

gleich Null, also:

(\frac{K_{v}}{x})' = 0

\frac{K_{v}}{x}

war:

\frac{a \cdot x^{3} + b x^{2} + c x}{x} = a x^{2} + b x + c

(\frac{K_{v}}{x})' = 2 a \cdot x + b = 0

Diese Gleichung ist laut Angabe erfüllt bei

x = 2,

also gilt:

2 a \cdot 2 + b = 0

bzw.

4 a + b = 0

Das ist nun Deine erste Gleichung Deines Gleichungssystems um die 4 Unbekannte

a - d

zu ermitteln.

Mach jetzt in dieser Art weiter mit der Angabe: "die kurzfristige Preisuntergrenze beträgt

18

GE"

exo94 aktiv_icon

17:09 Uhr, 24.08.2011

also nochmal von vorne

- . - : s

d = 75

Bei 2 ME werden minimale variable Stückkosten erricht:

Kv(x) = ax²+bx+c = Kv(2)=

4 a + 2 b + c = 0

Bei 2 ME werden minimale variable Stückkosten erricht und die Kurzfristige Preisuntergrenze beträgt 18GE:

K (x) =

ax³+bx²+cx+d

= K (2) =

18GE

= 8 a + 4 b + 2 c = 18

Minimale Stückkosten ergeben sich bei einer Ausbringungsmenge von 5ME

K'' (x) =

6ax+2b

= K'' (5) = 0 = 30 a + 10 b = 0

ist das richtig ?

wenn nein könntest du es mir vielleicht mal richtig hinschreiben weil ich im moment sonst gar nicht mehr durchblicke

. .

. wäre super nett...vielleicht verstehe ich es dann

DmitriJakov aktiv_icon

17:25 Uhr, 24.08.2011

Heul! Ich habe Dir doch gerade die Angabe "Bei 2 ME werden die minimalen variablen Stückkosten erreich" aufgedröselt.

Du musst die Gleichung für die erste Ableitung der minimalen Stückkosten verwenden, diese dann Null setzen und für

x

die 2ME einsetzen.

Die Aufgabe verlangt hohe Konzentration. Also mach es besser Schritt für Schritt.

Zweite Angabe: Bei 2 ME werden minimale variable Stückkosten erricht und die Kurzfristige Preisuntergrenze beträgt 18GE:
Das heisst dass die Variablen Stückkosten bei

x = 2

den Wert

18

annehmen:

\frac{K_{v} (2)}{2} = \frac{a \cdot 2^{3} + b \cdot 2^{2} + c \cdot 2}{2} = a \cdot 2^{2} + b \cdot 2 + c = 18

Also:

4 a + 2 b + c = 18

Dritte Angabe: Minimale Stückkosten ergeben sich bei einer Ausbringungsmenge von 5ME
Die minimalen Stückkosten sind: erste Ableitung von

\frac{K (x)}{x}

ist gleich Null

K (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

\frac{K (x)}{x} = \frac{a x^{3} + b x^{2} + c x + d}{x} = a x^{2} + b x + c + \frac{d}{x}

(\frac{K (x)}{x})' = 2 a x + b - \frac{d}{x^{2}} = 0

Dies ist erfüllt an der Stelle

x = 5

ME, also:

2 \cdot a \cdot 5 + b - \frac{d}{25} = 0

bzw.

10 a + b - \frac{1}{25} d = 0

exo94 aktiv_icon

18:40 Uhr, 24.08.2011

erstmal vielen vielel dank das dur dir dafür so viel zeit nimmst :-)
jet habe ich es verstanden

〈

aber wie komme ich jetzt auf

k (x)

ps. gibst du vielleicht nachhilfe oder so?

DmitriJakov aktiv_icon

18:52 Uhr, 24.08.2011

Also ich gebe Nachhilfe nur in diesem board hier, und das kostenlos ;-)

Wenn ich mich jetzt nicht irgendwo auf dem Weg vergalloppiert habe, dann hast Du nun ein Gleichungssystem von 4 Gleichungen:

4 a + b = 0

4 a + 2 b + c = 18

10 a + b - \frac{1}{25} d = 0

d = 75

Mit diesem Gleichungssystem kannst Du nun ein Lösungsverfahren Deiner Wahl anwenden: Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren, Additionsverfahren

. .

. was immer Dir gefällt.

Ziel ist es die Werte für

a, b, c

und

d

zu ermitteln. Diese setzt Du dann in die vorgegebene allgemeine Kostengleichung ein:

K (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

exo94 aktiv_icon

20:18 Uhr, 24.08.2011

also gilt für

4 a + b = 0

der Satz " Bei 2ME werden minimale variable Stückkosten erreicht"?

DmitriJakov aktiv_icon

20:23 Uhr, 24.08.2011

Ja, genauso sehe ich das. Der Satz führt zu

4 a + b = 0

exo94 aktiv_icon

20:45 Uhr, 24.08.2011

okay alles klar :-) danke

(Y)

also ich habe jetzt:

I

4 a + 2 b + c = 18

10 a + b = 3 | \cdot (- 2)

III

4 a + b = 0 | \cdot (- 2)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

4 a + 2 b + c = 18

- 20 a - 2 b = 3

|I+II
III

- 8 a - 2 b = 0

|I+III

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

4 a + 2 b + c = 18

- 16 a = 21

III

- 4 a = 18

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

4 a + 2 b + c = 18

- 16 a = 21 | : (- 16)

III

- 4 a = 18 | : (- 4)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

4 a + 2 b + c = 18

a = - 1,31

III

a = - 4,5

...

: O

verstehe ich nicht

\frac{:}{}

exo94 aktiv_icon

20:45 Uhr, 24.08.2011

okay alles klar :-) danke

(Y)

also ich habe jetzt:

I

4 a + 2 b + c = 18

10 a + b = 3 | \cdot (- 2)

III

4 a + b = 0 | \cdot (- 2)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

4 a + 2 b + c = 18

- 20 a - 2 b = 3

|I+II
III

- 8 a - 2 b = 0

|I+III

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

4 a + 2 b + c = 18

- 16 a = 21

III

- 4 a = 18

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

4 a + 2 b + c = 18

- 16 a = 21 | : (- 16)

III

- 4 a = 18 | : (- 4)

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

4 a + 2 b + c = 18

a = - 1,31

III

a = - 4,5

...

: O

verstehe ich nicht

\frac{:}{}

DmitriJakov aktiv_icon

20:58 Uhr, 24.08.2011

Bei der ersten Umformung von Gleichung II hast Du einen Wurm drin:
II:

10 a + b = 3 | \cdot (- 2)

wird bei Dir zu:
IIa:

- 20 a - 2 b = 3

Du hast vergessen die rechte Seite auch mit

- 2

zu multiplizieren.

Ich zeige Dir jetzt mal den Weg, den ich gegangen bin:
I:

4 a + b = 0

II:

4 a + 2 b + c = 18

III:

10 a + b - 3 = 0

aus I:

b = - 4 a

eingesetzt in III:

10 a - 4 a - 3 = 0

6 a - 3 = 0

6 a = 3

a = \frac{1}{2}

eingesetzt in I:

b = - 4 a

b = - 4 \cdot \frac{1}{2} = - 2

a und

b

nun eingesetzt in II:

4 a + 2 b + c = 18

4 \cdot \frac{1}{2} + 2 \cdot (- 2) + c = 18

2 - 4 + c = 18

- 2 + c = 18

c = 20

d

hattest Du ja schon ganz am Anfang:

d = 75

Und fertig :-D)

exo94 aktiv_icon

21:25 Uhr, 24.08.2011

puuh...schwere aufgabe meines erachtens
...vielen dank :-)

ich geh jetzt erstmal schlafen hab schon kopfschmerzen:-D)

würde gerne auf dich zurückkommen wenn es für dich ok ist? :-)

DmitriJakov aktiv_icon

21:29 Uhr, 24.08.2011

Die Aufgabe hatte es wirklich in sich, da musste man schon höllisch aufpassen. Ich hatte mich beim ersten Lösungsversuch auf meinem Zettel auch verrechnet.

Und Du kannst hier jederzeit weitere Fragen posten. Wenn jemand da ist, wird er versuchen zu helfen.

exo94 aktiv_icon

21:36 Uhr, 24.08.2011

noch eine frage:

wie rechnet man die langfristige preisuntergrenze aus?

DmitriJakov aktiv_icon

21:38 Uhr, 24.08.2011

Die langfristige Preisuntergrenze ist dort, wo auch die Fixkosten mit gedeckt sind. Es ist also das Minimum der Gesamt-Stückkosten.

exo94 aktiv_icon

21:44 Uhr, 24.08.2011

Also:

K (x)

- - = 0

x

DmitriJakov aktiv_icon

21:49 Uhr, 24.08.2011

Das wäre dort, wo die Stückkosten Null werden. Wenn Du das schaffst, dann wirst mal stinkreich :-D)

Nein, es ist dort, wo die 1. Ableitung der Stückkosten Null wird und dort die 2. Ableitung der Stückkosten positiv ist.

(\frac{K (x)}{x})' = 0

exo94 aktiv_icon

16:11 Uhr, 25.08.2011

also:

0 =

x-2-20/x² |*x²

0 =

x³-2x²-20x²

0 =

x³-22x²

und wie rechne ich weiter?

DmitriJakov aktiv_icon

16:27 Uhr, 25.08.2011

Nein, Du machst aus den Gesamtkosten

K (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d

die Gesamt-Stückkosten

\frac{K (x)}{x} = a x^{2} + b x + c + \frac{d}{x}

Und leitest diese ab:

(\frac{K (x)}{x})' = 2 a x + b - \frac{d}{x^{2}} = 0

Das löst Du nun nach

x

auf und hast damit die Extremstellen. Danach prüfst Du ob die Extremstellen Minima oder Maxima sind. Das Minimum ist die Stelle

x,

an denen die Gesamt-Stückkosten Minimal sind. Setze also dieses

x

in die

\frac{K (x)}{x}

ein und Du erhältst die langfristige Preisuntergrenze.

exo94 aktiv_icon

20:45 Uhr, 25.08.2011

also

(K \frac{x}{x})' =

x-2-(75/x²) und dann nehme ich

\cdot

x² oder?

wenn nein was dann?

DmitriJakov aktiv_icon

21:00 Uhr, 25.08.2011

Japp, dann bekommst Du eine kubische Gleichung mit

x^{3} - 2 x^{2} - 75 = 0

Eine Nullstelle musst Du durch raten herausfinden. Ich gebe Dir einen Tip: versuche es mit

x = 5

. Somit ist ein Linearfaktor

(x - 5)

Nun Polynomdivision durchführen und dann die Nullstellen des Resultats ausrechnen.

exo94 aktiv_icon

21:03 Uhr, 25.08.2011

geht das horner schema auch?

DmitriJakov aktiv_icon

21:13 Uhr, 25.08.2011

Vermutlich. Aber da bin ich jetzt nicht ganz so sattelfest.

exo94 aktiv_icon

21:25 Uhr, 25.08.2011

bei mir kommt immer math error raus

- . -

DmitriJakov aktiv_icon

21:31 Uhr, 25.08.2011

Math Error beim Versuch wovon? Leg lieber den TR ganz weit weg und mach die Sachen mit Kopf, Stift und Papier. ;-)

exo94 aktiv_icon

21:33 Uhr, 25.08.2011

also ich habe die gleichung x²+3x+75 mit dem horner-schema raus und habe dann die p-q-formel angewendet um die nullstellen auszurechnen und das geht nicht

- . -

DmitriJakov aktiv_icon

21:39 Uhr, 25.08.2011

Darf ich raten: Die Diskriminante ist eine Wurzel aus einer negativen Zahl? Was sagt dann der Mathematiker? Die Funktion hat keine Nullstelle in

ℝ

Folglich war 5 die einzige Nullstelle und ist der Ort der langfristigen Preisuntergrenze. Jetzt die Gesamtstückkosten an dieser Stelle ausrechnen und hast den langfristigen Minimalpreis.

exo94 aktiv_icon

21:42 Uhr, 25.08.2011

also einfach

x 5 \in (k \frac{x}{x})

einsetzen?

DmitriJakov aktiv_icon

21:44 Uhr, 25.08.2011

richtig

exo94 aktiv_icon

21:49 Uhr, 25.08.2011

also dann: der langfristigen Minimalpreis beträgt bei der stelle

x = 5 37,5

GE?

DmitriJakov aktiv_icon

22:00 Uhr, 25.08.2011

Ja, das ist so korrekt

exo94 aktiv_icon

22:07 Uhr, 25.08.2011

wie könnte ich jetzt noch rausbekommen wie hoch die fixen kosten sein müssten, damit das betriebsoptimum bei 4ME liegt?

DmitriJakov aktiv_icon

22:18 Uhr, 25.08.2011

Dann musst Du die Nullstelle der Funktion verschieben, die Du vorhin in den Klauen hattest:

(x - 5) \cdot (x^{2} + 3 x + 15)

muss dann werden:

(x - 4) \cdot (x^{2} + 3 x + 15)

Ausmultiplizieren und das konstante Glied am Ende sind dann die neuen Fixkosten.

exo94 aktiv_icon

13:42 Uhr, 26.08.2011

dann komme ich auf:

-4x³-12x²-60x

da sind dann ja aber keine fixen kosten

: o

DmitriJakov aktiv_icon

16:04 Uhr, 26.08.2011

(x - 4) (x^{2} + 3 x + 15)

= x^{3} + 3 x^{2} + 15 x - 4 x^{2} - 12 x - 60

= x^{3} - x^{2} + 3 x - 60

Da entspricht

60

nun den neuen Fixkosten.

exo94 aktiv_icon

17:31 Uhr, 26.08.2011

ich verstehe jetzt zwar nicht wirklich wie die auf die gleichung gekommen bist aber danke :-)

exo94 aktiv_icon

17:39 Uhr, 26.08.2011

oder doch :-)

vielen vielen dank für deine super hilfe :-)

DmitriJakov aktiv_icon

17:44 Uhr, 26.08.2011

Bittesehr.

Hat auch meinen Compi hier an den Rand des Wahnsinns getrieben. Der hatte ein paar mal out of memory error als das board hier den thread aktualisiert und dir Formeln dargestellt hat. :-D)

exo94 aktiv_icon

18:49 Uhr, 26.08.2011

Hehe ;-)

hast du ein spezielles programm?

DmitriJakov aktiv_icon

18:57 Uhr, 26.08.2011

Jaaa, nennt sich Microsoft Internet Explorer :-D)

exo94 aktiv_icon

19:35 Uhr, 26.08.2011

haha :-D)

ne ich meine das gleichungen lösen kann usw.^^

DmitriJakov aktiv_icon

19:41 Uhr, 26.08.2011

Jepp, das Programm nennt sich Großhirnrinde :-D)DD

Aber es gibt in der Tat ein Hilfsprogramm, das hier sehr gute Dienste beim Überprüfen von Ergebnissen liefert: Hatte für ein spezielles Problem hier bei einer Frage das hier in Wolframalpha eingegeben: www.wolframalpha.com/input/?i=a%5E%28-b*x%5E2%29

exo94 aktiv_icon

16:07 Uhr, 29.08.2011

langfristige Preisuntergrenze:

(K \frac{x}{x})' = 0 & (\frac{K (x)}{x})'' > o

kurzfristige Preisuntergrenze:

(K \frac{x}{x})' = 0 & (\frac{K (x)}{x})'' < o

ist das richtig?

DmitriJakov aktiv_icon

16:13 Uhr, 29.08.2011

Nein, das hast Du jetzt falsch verstanden. Die kurzfristige Preisuntergrenze ist dort, wo die variablen Stückkosten ihr Minimum haben. Und die langfristige Preisuntergrenze ist dort, wo die Gesamt-Stückkosten ihr Minimum haben.

exo94 aktiv_icon

16:16 Uhr, 29.08.2011

wie kann ich das als bed.: hinschreiben?

DmitriJakov aktiv_icon

16:40 Uhr, 29.08.2011

Die notwendigen Bedingungen stehen alle hier im thread. Die hinreichende Bedingung ist dann die entsprechende nächste Ableitung, die das Krümmungsverhalten bestimmt. Und da ein Minimum herauskommen soll muss die 2. Ableitung an der gefundenen Stelle stets

> 0

sein.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

912144

910670

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?