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Tags: Funktion

Randolph Esser aktiv_icon

19:47 Uhr, 04.01.2026

Hallo,

hier ist ja nix los im Schülerforum,
und daher nun eine selbstersonnene Aufgabe:

Der Dieb Ede geht jede Nacht auf Raubzug.
Sicher erbeutet er dabei jedes Mal

100

Euro,
jedoch nie

200

oder mehr Euro.

Genauer ist

200 - g

für

100 \leq g < 200

seine Chance (als Prozent),
wenigstens

g

Euro zu erbeuten,
formal als Funktion

p_{1} :

p_{1} : [100,200) \to (0,100], g \mapsto 200 - g

.

Also ist

z . B

p_{1} (120) = 200 - 120 = 80 %

Edes Chance,
wenigstens

120

Euro zu erbeuten,
und

p_{1} (170) = 200 - 170 = 30 %

seine Chance,
wenigstens

170

Euro zu erbeuten, usw...

Ein Graph ist angehängt.

Und nun die Aufgabe:
Entwickle eine Funktion

p_{2} : [200,400) \to (0,100], g \mapsto

???,
sodass

p_{2} (g)

für

200 \leq g < 400

Edes Chance (als Prozent) ist,
in zwei Raubzügen wenigstens

g

Euro zu erbeuten.
Zeichne auch den Graphen.

Bem.: Bei der Beute tun wir einfach so,
als ob es jeden Betrag innerhalb der jeweiligen Intervalle gäbe,
also auch

z . B

117,532

Euro

\in [100,200)

.
Also die Euros einfach wie reelle Zahlen handhaben...

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

HAL9000

15:07 Uhr, 05.01.2026

Als Stochastiker würde ich es einfacher so formulieren: Der zufällige Beutewert eines Raubzuges ist gleichmäßig stetig verteilt auf dem Intervall

[100, 200]

.

Es geht dann in der Aufgabe um die Beutesumme zweier Raubsumme, deren Verteilung als Faltung zweier identischer Gleichverteilungen ist bekanntlich eine symmetrische Dreiecksverteilung auf

[200, 400]

, in Formeln für deine Prozente:

p_{2} (g) = 100 - \frac{{(g - 200)}^{2}}{200}

für

200 \leq g < 300

p_{2} (g) = \frac{{(400 - g)}^{2}}{200}

für

300 \leq g < 400

Randolph Esser aktiv_icon

15:48 Uhr, 05.01.2026

Hallo HAL,

Danke für Deine Antwort.
Die Frage ist somit beantwortet.
Ich habe heute morgen selber ein wenig experimentiert
und bin dabei auch auf eine Fallunterscheidung
und sogar auch ähnliche Terme wie bei Dir
gekommen, allerdings nicht auf das Ergebnis
oder überhaupt nur irgendwas Brauchbares.
Hier drunter meine Rechnerei
ohne den Anspruch, von irgendjemandem
ernst genommen zu werden.
Stochastik wartet noch auf mich in meinem
Studium, dann werde ich das alles wohl auch
lernen. Im Moment ist bei mir Algebra angesagt...

Also, hier mein Schrott:

Mein Ansatz:

p_{2} : [200,400) \to (0,100], g \mapsto lim_{k \to \infty} s_{k} (g)

mit

s_{k} (g) := \sum_{l = 0}^{k - 1} u_{k} (g) o_{k} (g)

(für

k \geq 1),

u_{k} (g) := p_{1} (a - b + l \frac{2 b}{k}) - p_{1} (a - b + (l + 1) \frac{2 b}{k}),

o_{k} (g) := p_{1} (a + b - (l + 1) \frac{2 b}{k}) - p_{1} (a + b - l \frac{2 b}{k}),

a := \frac{g}{2},

b := a - 100,

falls

a \leq 150

oder

b := 200 - a,

falls

a > 150

.

Auspacken, zusammenfassen...

u_{k} (g) := p_{1} (100 + l \frac{g - 200}{k}) - p_{1} (100 + (l + 1) \frac{g - 200}{k}),

o_{k} (g) := p_{1} (g - 100 - (l + 1) \frac{g - 200}{k}) - p_{1} (g - 100 - l \frac{g - 200}{k}),

u_{k} (g) := p_{1} (g - 200 + l \frac{400 - g}{k}) - p_{1} (g - 200 + (l + 1) \frac{400 - g}{k}),

o_{k} (g) := p_{1} (200 - (l + 1) \frac{400 - g}{k}) - p_{1} (200 - l \frac{400 - g}{k})

.

Dann die Enttäuschung

p_{2} : [200,400) \to (0,100], g \mapsto lim_{k \to \infty} s_{k} (g)

mit

s_{k} (g) := \sum_{l = 0}^{k - 1} {(\frac{g - 200}{k})}^{2} = \frac{{(g - 200)}^{2}}{k},

falls

g \leq 300

s_{k} (g) := \sum_{l = 0}^{k - 1} {(\frac{400 - g}{k})}^{2} = \frac{{(400 - g)}^{2}}{k},

falls

g > 300

was mit

k

gegen Null geht, also nix taugt...

Randolph Esser aktiv_icon

21:44 Uhr, 05.01.2026

Hier noch der Graph
von HALs Lösung als Zweiteiler.
Ein sigmoider Graph, wenn
man ihn zusammensetzt.
Ist schon interessant,

z . B .,

dass

p_{2}

nicht wieder
wie

p_{1}

einfach linear ist,
was man naiv vermuten könnte.
Stochastik kommt auf jeden Fall
nochmal auf meinen mathematischen
Speiseplan...

HAL9000

08:18 Uhr, 06.01.2026

> Ist schon interessant, z.B., dass

p_{2}

nicht wieder wie

p_{1}

einfach linear ist

Nun ja, letzteres stimmt genau genommen nicht:

p_{1}

ist stückweise (!) linear, denn man darf ja

p_{1} (g) = 100

für

g < 100

sowie

p_{1} (g) = 0

für

g \geq 200

nicht vergessen! Diese intervallweise Stückelung setzt sich dann für die Faltung

p_{k} (g) = - \frac{1}{100} \int_{- \infty}^{\infty} p_{1} ʹ (t) p_{k - 1} (g - t) d t = \frac{1}{100} \int_{100}^{200} p_{k - 1} (g - t) d t

für

k = 2, 3, \dots

fort, mit genau

k + 2

Teilintervallen (die beiden äußeren dabei mit Wert 100 bzw. 0).

P.S.: Faktor

\frac{1}{100}

kommt übrigens rein, weil du mit Prozenten statt Wahrscheinlichkeiten operierst.

Randolph Esser aktiv_icon

11:05 Uhr, 06.01.2026

Aaah, vielen Dank für das Rezept.

Man braucht also

p_{1}

auf ganz

ℝ,

das hatte ich nicht auf dem Schirm,

ich habe mich oben nur auf

[100,200)

bezogen.

Ich wende die Formel mal an:

p_{2} (g) = \frac{1}{100} \int_{100}^{200} p_{1} (g - t) d t

= - \frac{1}{100} \int_{g - 100}^{g - 200} p_{1} (z) d z

= \frac{1}{100} \int_{g - 200}^{g - 100} p_{1} (z) d z

= \frac{1}{100} \int_{g - 200}^{g - 100} p_{1} (z) d z

= \frac{1}{100} (\int_{g - 200}^{100} 100 d z + \int_{100}^{g - 100} (200 - z) d z)

= 100 - \frac{{(g - 200)}^{2}}{200},

falls

200 \leq g \leq 300

bzw.

= \frac{1}{100} \int_{g - 200}^{200} (200 - z) d z

= \frac{{(400 - g)}^{2}}{200},

falls

300 < g \leq 400

.

Supercool, Danke !

HAL9000

13:19 Uhr, 06.01.2026

Formel

p_{k} (g) = - \frac{1}{100} \int_{- \infty}^{\infty} p_{1} ʹ (t) p_{k - 1} (g - t) d t = \frac{1}{100} \int_{100}^{200} p_{k - 1} (g - t) d t

gilt übrigens für alle absolutstetigen Beuteverteilungen

p_{1}

, d.h., gefordert wird lediglich

1)

p_{1}

monoton fallend,
2)

lim_{t \to - \infty} p_{1} (t) = 100

und

lim_{t \to \infty} p_{1} (t) = 0

,
3)

p_{1}

stetig,
4)

p_{1}

ist fast überall differenzierbar.

1) und 2) gelten automatisch ausgehend von der inhaltlichen Bedeutung, dass

p_{1} (t)

die Chance auf einen Gewinn

\geq t

bedeuten soll.

Hinreichend für 4) ist beispielsweise, dass es auf jedem endlichen Intervall nur endlich viele Nichtdifferenzierbarkeitsstellen gibt. In unserem Fall der gleichmäßigen Verteilung hat

p_{1}

nur zwei solche Nichtdifferenzierbarkeitsstellen: Bei

t = 100

sowie

t = 200

Randolph Esser aktiv_icon

13:40 Uhr, 06.01.2026

Stabil, vielen Dank.

Super Exkurs für mich zwischendurch.

Die Theorie dazu knöpf ich mir

auf jeden Fall nochmal vor.

Doch nun ist Algebra angesagt.

Ich hab den Rucksack voll mit Stoff

und in einem Monat ist Klausur...

HAL9000

15:12 Uhr, 06.01.2026

In der Stochastik arbeitet man eher mit Verteilungsfunktionen: Wenn etwa

S_{k}

die zufällige Summe von

k

solchen Beutezügen ist, dann gilt für deren Verteilungsfunktion

F_{S_{k}}

folgender Zusammenhang zu deiner mit Prozenten arbeitenden Funktion

p_{k}

F_{S_{k}} (g) \overset{d e f}{=} P (S_{k} \leq g) = 1 - P (S_{k} > g) = 1 - \frac{p_{k} (g)}{100}

.

Aber widme dich erstmal deiner Algebra. ;-)

HAL9000

12:46 Uhr, 07.01.2026

Ich fabulier mal noch ein wenig rum, was bei mehr als zwei Summanden passiert:

Dabei betrachte ich unabhängig identisch stetig gleichverteilte Zufallsgrößen

X_{k}

auf dem Intervall

[0, 1]

(statt wie bei dir auf

[100, 200]

, was man aber anschließend skalieren kann), Ziel ist eine explizite Darstellung der Verteilungsfunktion

F_{n} (x) = P (S_{n} \leq x)

der Summe

S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} X_{k}

.

Klar:

F_{n}

besteht aus intervallweise Polynomen

n

-ten Grades, genauer gesagt

F_{n} (m + t) = \sum_{k = 0}^{n} a_{n, m, k} t^{k}

für

m = 0, 1, \dots, n - 1

und

0 \leq t \leq 1

.

Setzt man zusätzlich

a_{n, m, k} = 0

für alle

m < 0

sowie

m \geq n, k \geq 1

und zusätzlich

a_{n, m, 0} = 1

für

m \geq n

, dann gilt für

n \geq 1

die Iteration

F_{n} (m + t) = \int_{0}^{1} F_{n - 1} (m + t - x) d x = \int_{0}^{t} F_{n - 1} (m + t - x) d x + \int_{t}^{1} F_{n - 1} (m - 1 + t + 1 - x) d x

= \int_{0}^{t} F_{n - 1} (m + y) d y + \int_{t}^{1} F_{n - 1} (m - 1 + y) d y = \int_{0}^{t} \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{n - 1, m, k} y^{k} d y + \int_{t}^{1} \sum_{k = 0}^{n - 1} a_{n - 1, m - 1, k} y^{k} d y

= \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{a_{n - 1, m, k}}{k + 1} t^{k + 1} + \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{a_{n - 1, m - 1, k}}{k + 1} (1 - t^{k + 1}) = \sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{a_{n - 1, m - 1, k}}{k + 1} + \sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{n - 1, m, k - 1} - a_{n - 1, m - 1, k - 1}}{k} t^{k}

,

d.h.,

a_{n, m, 0} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{a_{n - 1, m - 1, k - 1}}{k}

und

a_{n, m, k} = \frac{a_{n - 1, m, k - 1} - a_{n - 1, m - 1, k - 1}}{k}

für

k \geq 1

.

Diese Berechnung hab ich mal in Python umgesetzt, und das ergibt dann z.B. jeweils für

0 \leq t \leq 1

F_{2} (t) = \frac{t^{2}}{2}, F_{2} (1 + t) = \frac{1 + 2 t - t^{2}}{2}

F_{3} (t) = \frac{t^{3}}{6}, F_{3} (1 + t) = \frac{1 + 3 t + 3 t^{2} - 2 t^{3}}{6}, F_{3} (2 + t) = \frac{5 + 3 t - 3 t^{2} + t^{3}}{6}

F_{4} (t) = \frac{t^{4}}{24}, F_{4} (1 + t) = \frac{1 + 4 t + 6 t^{2} + 4 t^{2} - 3 t^{4}}{24}, F_{4} (2 + t) = \frac{12 + 16 t - 8 t^{3} + 3 t^{4}}{24}, F_{4} (3 + t) = \frac{23 + 4 t - 6 t^{2} + 4 t^{3} - t^{4}}{24}

usw.

Für große

n

nähert sich

F_{n} (x)

gemäß Zentralem Grenzwertsatz immer mehr der Verteilungsfunktion der Normalverteilung

N (\frac{n}{2}, \frac{n}{12})

, das ist

Φ (\frac{x - \frac{n}{2}}{\sqrt{\frac{n}{12}}})

Randolph Esser aktiv_icon

16:57 Uhr, 07.01.2026

Sehr gut, Danke.
Die Koeffizienten der Polynome kannst
Du ja die HALschen Zahlen nennen
und untersuchen.

Ich behaupte übrigens kühn und ohne Beweis:
Edes Chance, in

k

Raubzügen wenigstens

k \cdot 150

Euro
zu erbeuten ist konstant

50 %

für alle

k \in ℕ

.
Wahr oder falsch ?

Jetzt muss ich aber Algebra lesen.
Ich hinke eine Vorlesung hinterher...

HAL9000

18:43 Uhr, 07.01.2026

> Edes Chance, in k Raubzügen wenigstens k⋅150 Euro zu erbeuten ist konstant 50% für alle k∈ℕ.
> Wahr oder falsch ?

Wahr. Und der Beweis ist nicht schwer, und gilt für jede stetige zu 150 symmetrische Beuteverteilung, also auch für die hier vorliegende gleichmäßige Verteilung auf [100,200].

Randolph Esser aktiv_icon

15:33 Uhr, 08.01.2026

Haken machen...

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