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Bew: Jede 5. Fibonaccizahl teilbar durch 5

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Folgen und Reihen

Tags: Fibonacci-Zahlen, Folgen, Reihen, Teilbarkeit durch 5

 
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Dornathal

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16:48 Uhr, 18.10.2010

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Hallo Leute,
Ich soll beweisen, dass jede 5. Fibonacci-Zahl (f5k) durch 5 teilbar ist.

Dabei gilt: k∈ℕ
Der Beweis soll auf dieser Gleichung basieren.
fk=5fk-4+3fk-5

⇒f5k=5f5k-4+3f5k-5=5f5k-4+3f5(k-1)
Ich habe mir dazu gedacht, dass der erste Summand 5f5k-4 immer durch 5 teilbar ist.
Ausserdem setze ich vorraus, dass für jedes a∈ℕ,5∣a gilt, dass 5 ebenfalls Teiler von 3a ist.

Nun dachte ich kann man den Beweis jeweils darauf reduzieren, dass f5(k-1) von 5 geteilt werden kann. Wenn man nun die Formel für f5(k-1) aufstellt, kommt man auf
f5(k-1)=5f5(k-1)-4+3f5(k-2)
Äquivalent zu oben muss man dann ja wieder nur f5(k-2) betrachten, da der rest trivialerweise durch 5 teilbar ist.
Zum Schluss betrachtet man zwangsläufig f5(k-k) also f0=0 und da 5|0 wahr ist dürfte die Aussage bewiesen sein.

Also jetzt meine Frage: ist das als Beweis ausreichend und wie schreibe ich ihn dann auf?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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m-at-he

m-at-he

19:12 Uhr, 18.10.2010

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Hallo,

das Ganze ist eine vollständige Induktion. Als Induktionsanfang suchst Du Dir die kleinste durch 5 teilbare Fibonacci-Zahl. Danach sagst Du, daß es ein k gibt, für das fk durch 5 teilbar ist und dann behauptest Du, daß es für k+5 auch gilt. Dein

fk+5=5⋅f(k+5)-4+3⋅f(k+5)-5

bzw.

fk+5=5⋅fk+1+3⋅fk

Der erste Summand auf der rechten Seite ist durch 5 teilbar, denn das steht ja da. Der zweite Summand ist es wegen der Induktionsvoraussetzung. Die Summe ist somit ebenfalls durch 5 teilbar und damit ist die Behauptung bewiesen.
Frage beantwortet
Dornathal

Dornathal aktiv_icon

19:36 Uhr, 18.10.2010

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Ahh oke, dass war auch unsere erste Idee, ich fand das bloss nen bisschen komisch einfach zu sagen, dass man fk dann auch durch 5 teilen kann, weil man das vorher behauptet hat.
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m-at-he

m-at-he

19:59 Uhr, 18.10.2010

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Hallo,

"ich fand das bloss nen bisschen komisch einfach zu sagen, dass man fk dann auch durch 5 teilen kann, weil man das vorher behauptet hat." - Hat man doch gar nicht! Man zeigt, daß es ein k gibt, für das die Behauptung gilt und dann zeigt man, daß für k+5 die Behauptung auch gilt.