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Bewegungsgleichung eines Verdichterkolbens
Universität / Fachhochschule
Gewöhnliche Differentialgleichungen
Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen
 
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Hallo
ich versuche gerade die Bewegungsgleichung eines Verdichterkolbens aufzustellen, der eine einmalige Verdichtung eines Gases durch eine Masse im Schwerefeld erzeugt. Bei wird der Kolben der vorher arretiert war losgelassen und durch ein recht hohes Gewicht nach unten Beschleunigt. Dabei geht es mir darum den maximal kurzfristig auftretenden Druck zu bestimmen wenn sich der Kolben senkt, und durch seinen Eigenimpuls über den Gleichgewichtspunkt hinaus in den Zylinder eintaucht ich habe bisher die Beschleunigungsgleichung des Kolbens aufstellen können, aber habe im Moment keinen Schimmer wie ich weitermachen soll die 2. Ableitung des Position des Kolbens nach der Zeit (Seine Beschleunigung) Position des Kolbens in Abhängigkeit on der Zeit (also Isentropenexponent Fläche des Kolbens Höhe des gesamten Zylinders Umgebungsdruck Masse von Kolben und Gewicht dazu noch als Randbedingung für den Start: Gesucht ist die Gleichung für also quasi die 2 fach integrierte Ich hoffe jemand weis Rat... Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Ich habe da gestern schon drüber nachgedacht. Die Anordnung ist doch so ähnlich wie bei einem Stossdämpfer, nur dass es hier wohl keine gedämpfte Schwingung ist, sondern eine ungedämpfte. Je nachdem wie weit der Kolben über dem Gleichgewichtspunkt steht, also wo Gasdruck im Zylinder und Gewichtskraft des Kolbens sich ausgleichen, ist der Gesamtweg wohl das zweifache dieser Distanz. |
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anonymous 12:37 Uhr, 03.03.2011 |
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Hallo @DmitriJakov Dein Hinweis bzgl. "Gleichgewichtspunkt, . zweifache Distanz" gilt nur für harmonische Schwingungen, also wenn die Beschleunigung proportional zur Auslenkung, bzw. die Auslenkung proportional zur Kraft ist. Das ist in unserem Gas-Zylinder gerade nicht der Fall! Hier steigt die Kraft gemäß obigem Isentropen-Gesetz. . bei wäre der Druck unendlich, und damit die Beschleunigungskraft unendlich) @Zerberus Du hast die Differenzialgleichung - soweit ich es übersehe - ja schon richtig aufgestellt. Ich fürchte nur, da im Nenner steht und zudem noch potenziert wird (Potenz Kappa), fürchte ich, dass es sehr schwer wird (wenn nicht über-menschlich), die DGL analytisch zu lösen. Ich fürchte, du wirst gezwungen sein, numerisch weiterzuverfahren. Zumindest habe ich dir keinen weiteren Tip. |
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Hmmm, richtig. Zur Lösung: könnte man nicht so vorgehen: Der sinkende Kolben verliert potentielle Energie, die er vollständig in thermische Energie des Gases im Zylinder überträgt. Thermische Energie: de.wikipedia.org/wiki/Thermische_Energie Gasgesetz: de.wikipedia.org/wiki/Gasgesetz Und mit const. liesse sich obige Formel sicher auch vereinfachen. |
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anonymous 12:59 Uhr, 03.03.2011 |
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Hallo nochmal.
Energie-Erhaltung ist zwar richtig. Typischerweise enthält die Energie-Betrachtung aber keine Zeit, denn die Energie ist ja über die gesamte Zeit KONSTANT. Für die gesuchte Bewegungsgleichung brauchen wir aber die Zeit, da ja die Größen Zeit, Beschleunigung, Geschwindigkeit (=Bewegungsenergie) eine Rolle spielen. |
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Erst einmal danke an alle, die sich auch nen bischen den Kopf zerbrochen haben. Es beruhigt immer, wenn man nicht der Einzige ist, der nicht auf eine Lösung kommt. Der Unterschied zu einer normalen Gasfeder ist leider eben duch den Isentropenexponenten gegeben, aber genau dieser unproportionale Faktor ist es um den es bei diesem Versuch leider geht (Die Luft im Kolben wird durch die stoßartige Verdichtung erhitzt, und somit steigt der Druck stärker an, als es bei einer langsamen Verdichtung der Fall wäre. Die Dämpfung dirch die Wandreibung spielt bei einem einmaligen Verdichtungsvorgang nicht so die Rolle, wäre aber ansonsten recht einfach einsetzbar. Dann muß ich das ganze wohl leider nummerisch lösen, nicht ganz so elegent, aber wohl praktikabeler. Wenn noch jemand auf eine Lösung kommt wäre das natürlich super :-) |
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Deswegen habe ich ja den Faktor noch mit in p*V^k=const. mit berücksichtigt.
Und die Stoßweise Verdichtung erhitzt das Gas nicht stärker als eine langsame und allmähliche Verdichtung auf das selbe Volumen. Alles andere würde die Energieerhaltung verletzen. Dass es in der Realität in der Tat wärmer wird, wenn Stossweise verdichtet wird liegt an der Wärmestrahlung, also dass es sich in der Realität normalerweise nicht um geschlossene Systeme handelt. Was die Zeit betrifft: ganz oben steht also eine Beschleunigung = Erdbeschleunigung Und wenn man noch die Masse aus dem Nenner des 2. Terms herauszieht, dann steht da: also eine Beschleunigung = Erdbeschleunigung Und das ist: Kraft = Kraft |
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