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Bewegunsgleichung mit Kraftgleichung aufstellen

Universität / Fachhochschule

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Differentialgleichung 2. Ordnung, Differentialrechnung, Partielle Differentialgleichungen

muri10 aktiv_icon

11:13 Uhr, 28.11.2020

Guten Tag,

bei folgender Aufgabe bräuchte ich etwas Starthilfe:

Ein Teilchen mit der Masse

m

erfahre die Kraft

F (x) = 4 x (x + 1) (x

−

1)

. Das zweite
Newtonsche Gesetz besagt, dass

F =

m¨x(t)

= m \frac{(d^{2}) x}{d (t^{2})}

gilt.

(a)

Stellen Sie die Bewegungsgleichung e(¨x,

x) = 0

auf.

(b)

Wir multiplizieren die Bewegungsgleichung mit x˙

(t)

und erhalten damit x˙·e(x¨,

x) = 0

. Bestimmen Sie eine Funktion E(x˙(t),

x (t)),

sodass dE/dt = x˙ · e(x¨,

x)

gilt.
Um die Trajektorie

x (t)

zu berechnen, können wir nun, anstelle von e(¨x,

x) = 0,

die Gleichung

E = c

für eine Konstante

c 2 R

lösen. Die Anfangswerte

x (0)

und x˙

(0)

bestimmen hierbei

c

eindeutig.

(c)

Finden Sie eine Lösung

x (t)

von e(¨x,

x) = 0

zur Masse

m = 2

und den Anfangswerten

x (0) = 0

und x˙ (0)

=

−1. Wie verhält sich die Lösung

x (t)

für

t \to 1

?

Bei

(a)

kann ich mir denken, dass ich

F (x)

zwei Mal integrieren muss, da sie die Beschleunigung enthält, ich aber die Bewegungsgleichung benötige.

F (x) = 4 x^{3} - 4 x

\int_{a}^{b} 4 x^{3} - 4 x d x = x^{4} - 2 x^{2}

\int_{a}^{b} (x^{4} - 2 x^{2}) d x = (\frac{1}{5}) x^{5} - (\frac{2}{3}) x^{3}

Ab hier weiß ich leider nicht weiter.

Danke im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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11:16 Uhr, 28.11.2020

Die Gleichung ist doch angegeben:

m \overset{..}{x} = F (x)

, also

m \overset{..}{x} = 4 x^{3} - 4 x

bzw.

m \overset{..}{x} - (4 x^{3} - 4 x) = 0

muri10 aktiv_icon

11:18 Uhr, 28.11.2020

Danke für die Antwort.

Sicher, dass das bereits die Lösung sein soll? Wo ist dann die Herausforderung der Aufgabe? Und wozu dann noch ein Formelzeichen e?

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11:19 Uhr, 28.11.2020

Das ist nur die Lösung für a):

e (\overset{..}{x}, x) = m \overset{..}{x} - (4 x^{3} - 4 x)

.

Bei b) und c) gibt's noch jede Menge Arbeit

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11:22 Uhr, 28.11.2020

In b) hast du dann die Gleichung

\dot{x} (m \overset{..}{x} - 4 x^{3} + 4 x) = 0

, sie wird zu

0.5 m {\dot{x}}^{2} - x^{4} + 2 x^{2} = C

integriert.
Also,

E (\dot{x}, x) = 0.5 m {\dot{x}}^{2} - x^{4} + 2 x^{2}

muri10 aktiv_icon

11:25 Uhr, 28.11.2020

Okay danke. Dann zur

(b) :

Mein Ansatz:

Da in der Gleichung für

F

die zweite Ableitung steckt und wir zu

e

die erste Ableitung multiplizieren sollen, müssen wir einmal integrieren und das Ergebnis mit dem eben genannten Term multiplizieren. Da dieses Ergebnis die erste Ableitung von

E

nach

t

sein soll, müssen wir das einmal nach

t

integrieren und haben unser E. Ist das korrekt?

muri10 aktiv_icon

11:26 Uhr, 28.11.2020

Jetzt warst du schneller, ich rechne eben nach.

muri10 aktiv_icon

11:29 Uhr, 28.11.2020

E

soll jedoch von

x (t)

abhängen, müssen wir hier nicht nach

t

integrieren, statt nach x?

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11:30 Uhr, 28.11.2020

Wir integrieren nach

t

.
Leite zur Probe

E

nach

t

ab.

muri10 aktiv_icon

11:36 Uhr, 28.11.2020

Ich versteh den Rechenweg nicht ganz. Wohin verschwindet das x˙ vor der Klammer und für mich sieht das nach Integration nach

x

aus

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11:53 Uhr, 28.11.2020

Wie gesagt, der Rechenweg ist am einfachsten zu verstehen, wenn man zurück ableitet.

Z.B.

\frac{d}{d t} (x^{4}) = 4 x^{3} \cdot \dot{x}

. Denn

x^{4}

ist in Wirklichkeit eine Komposition der Funktionen

x : t \to x (t)

und

g : x \to x^{4}

. Also man könnte auch

x^{4}

als

g (x (t))

schreiben und entsprechend ableiten:

\frac{d}{d t} (x^{4}) = \frac{d}{d t} (g (x (t))) = g^{ʹ} (x (t)) \cdot \frac{d}{d t} (x) = 4 x^{3} \cdot \dot{x}

.

Ich habe hier die Funktion

x \to x^{4}

mit

g

bezeichnet, weil ich einfach einen Buchstaben brauchte. Könnte auch

f

sein.

Und wenn du nach

x

integrieren würdest, wäre das Ergebnis anders.
Denn dann hättest du einfach

4 x^{3}

, ohne

\dot{x}

muri10 aktiv_icon

12:11 Uhr, 28.11.2020

Der Teil ist mir nun klar, dankeschön. Ich schaue mal, ob ich die

(c)

selbstständig hinkriege.

muri10 aktiv_icon

12:42 Uhr, 28.11.2020

Mit

m = 2

folgt

2 \overset{..}{x} - 4 x^{3} - 4 x = c

\Leftrightarrow \overset{..}{x} = 2 x^{3} + 2 x + \frac{1}{2} c

Hier habe ich wieder Probleme mit dem Integrieren, dass

x

von

t

abhängt verwirrt mich.

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13:04 Uhr, 28.11.2020

Es wurde dir in b) gesagt, dass es einfacher ist, statt

e (\overset{..}{x}, x) = 0

die Gleichung

E (\dot{x}, x) = C

zu betrachten.
Also mit

m = 2

ist es die Gleichung

{\dot{x}}^{2} - x^{4} + 2 x^{2} = C

. Wegen der Anfangsbedingungen

x (0) = 0

und

\dot{x} (0) = - 1

folgt

C = 1

.
Also musst du die Gleichung

{\dot{x}}^{2} = 1 + x^{4} - 2 x^{2}

lösen. Das geht z.B. mit der Trennung der Variablen.

muri10 aktiv_icon

13:33 Uhr, 28.11.2020

Ich hätte gesagt

{\dot{x}}^{2} = {(x^{2} - 1)}^{2}

\Leftrightarrow \dot{x} = x^{2} - 1

\frac{d x}{d t} = x^{2} - 1

Hier komme ich wieder nicht weiter, weil ich die variablen nicht getrennt kriege. Oder doch eher durch Variation der Konstanten? Sorry, ich weiß ist mühsam..

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13:45 Uhr, 28.11.2020

Aus

{\dot{x}}^{2} = (x^{2} - 1)^{2}

folgt nicht unbedingt

\dot{x} = x^{2} - 1

, denn es könnte auch

\dot{x} = 1 - x^{2}

sein. Aber wegen

x (0) = 0

und

\dot{x} (0) = - 1

ist die Variante

\dot{x} = x^{2} - 1

tatsächlich die richtige.
Weiter werden Variablen getrennt.

\frac{d x}{d t} = x^{2} - 1

\frac{d x}{x^{2} - 1} = d t

0.5 \frac{d x}{x - 1} - 0.5 \frac{d x}{x + 1} = d t

0.5 \ln ∣ x - 1 ∣ - 0.5 \ln ∣ x + 1 ∣ = t + C_{1}

\ln (\sqrt{\frac{∣ x - 1 ∣}{∣ x + 1 ∣}}) = t + C_{1}

\sqrt{\frac{∣ x - 1 ∣}{∣ x + 1 ∣}} = C_{2} e^{t}

\frac{∣ x - 1 ∣}{∣ x + 1 ∣} = C e^{2 t}

x (0) = 0

, ist in der Umgebung von

0

∣ x - 1 ∣ = 1 - x

und

∣ x + 1 ∣ = x + 1

.
Damit haben

\frac{x - 1}{x + 1} = C e^{2 t}

, also

1 - \frac{2}{x + 1} = C e^{2 t}

x + 1 = 2 / (1 - C e^{2 t})

x = \frac{2}{1 - C e^{2 t}} - 1 = \frac{1 + C e^{2 t}}{1 - C e^{2 t}}

.
Und wegen

x (0) = 0

folgt

C = - 1

muri10 aktiv_icon

14:12 Uhr, 28.11.2020

Vielen vielen Dank! Alleine hätte ich das nicht geschafft.

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