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Beweis: 5|4n^2+1 für n ∈ N

Universität / Fachhochschule

Teilbarkeit

Tags: Teilbarkeit

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15:27 Uhr, 15.10.2016

Hallo zusammen,

ich möchte folgende Aufgabe lösen:
Zeigen sie das es unendliche viele

n

∈

N

gibt, für die gilt:

5 | 4 n^{2} + 1

Meine bisherigen Lösungsansätze:

1)

Vollständige Induktion
I.A.

(n = 1) : 5 | 4 + 1

wahr
I.V. Es existiert ein

k

∈

N

für das gilt

5 | 4 k^{2} + 1

I.S. Unter der Annahme das I.V. gilt, Zeige:

(k \to k + 1)

5 | 4 {(k + 1)}^{2} + 1

5 | 4 k^{2} + 8 k + 5

Die 5 habe ich entfernt da

5 | 5

5 | 4 k^{2} + 8 k

An dieser stelle komme ich nicht weiter. Ich sehe keinen Weg

4 k^{2} + 8

so umzuformen, um zu zeigen das die I.V. gilt. Habe ich hier eine Fehler gemacht? Oder sehe ich einfach nicht den weg zur passenden Umformung?

2) 4 n^{2} - 2, 4 n^{2} - 1, 4 n^{2}, 4 n^{2} + 1, 4 n^{2} + 2

sind fünf aufeinanderfolgende Zahlen, wo eine Teilbar durch 5 sein muss.

5 | (4 n^{2} - 2) (4 n^{2} - 1) (4 n^{2}) (4 n^{2} + 1) (4 n^{2} + 2)

5 | 4 n^{2} (16 n^{4} - 1) (16 n^{4} - 4)

5 | 4 n^{2} (256 n^{8} - 80 n^{4} + 4)

Auch an dieser stelle komme ich nicht weiter.Habe ich hier eine Fehler gemacht? Oder sehe ich nicht weg zur passenden Umformung?

Vielen Dank im vorraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

abakus

15:36 Uhr, 15.10.2016

Wieso vollständige Induktion?
Es soll ja nicht für alle n gelten (es soll nur ab und zu ein solches n geben).
Jetzt arbeite doch einfach mal ein wenig und berechne 4n²+1 für die ersten 10 natürlichen Zahlen.
Wann hast du einen Treffer (durch 5 teilbares Ergebnis)?

ermanus aktiv_icon

20:19 Uhr, 15.10.2016

Hallo,
bei Deiner letzten Aufgabe, die Du ins Forum gestellt hast,
machtest Du zum Schluss den Eindruck, dass Dir Kongruenzrechnung
ein Begriff ist. Mit diesem Werkzeug könntest Du doch mal
versuchen herauszufinden, bei welchen

n \in ℕ

4 n^{2} + 1 \equiv 0

mod

5

ist.
Kleiner Tipp:

4 \equiv - 1

mod

5

.
Gruß ermanus

P.S.: Du musst nur unendlich viele geeignete

n

finden und keineswegs
alle ...

G1mb0 aktiv_icon

16:24 Uhr, 16.10.2016

Hallo zusammen,

erstmal Entschuldigung für die blöde Frage. Ich hätte ja nur

n = 2

einsetzen müssen um zu sehen das

4 {(2)}^{2} + 1 = 17

nicht durch 5 teilbar ist. Auch hätte ich die Aufgabenstellung mal vernünftig lesen sollen (Wer lesen kann ist klar im Vorteil...).

Ich habe dies nun wie folgt gelöst:

n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4

mod 5 | 1 | 0 | 2 | 2 | 0

(Gibt es eine Möglichkeit vernünftige Tabellen zu erstellen? Ich habe unter "Wie schreibt man Formeln?" und "Welche LaTex Befehle werden unterstützt?" nichts gefunden)

Vermutung: Für

n = 5 k \pm 1

ist

4 n^{2} + 1

durch 5 teilbar.

(k

∈

ℤ)

Beweis:

5 | 4 {(5 k + 1)}^{2} + 1

5 | 100 k^{2} + 40 k + 5

5 | 4 {(k - 1)}^{2} + 1

5 | 100 k^{2} - 40 k + 5

Kongruenzen sind mir ein Begriff, allerdings hatten wir den Stoff noch nicht in den Vorlesungen und ich habe mir bzgl. Kongruenzen im Internet schlau gemacht, um deine Lösung auf meine andere Frage nachzuvollziehen. Ich habe mich dennoch an eine Lösung mittels Kongruenzen gewagt:

Gesucht anhand oberer Tabelle

n \equiv 1 mod 5

und

n \equiv 4 mod 5

n^{2} \equiv 1 mod 5

4 n^{2} \equiv - 1 mod 5

4 n^{2} + 1 \equiv 0 mod 5

bzw.

n \equiv 4 mod 5

n^{2} \equiv 1 mod 5

4 n^{2} \equiv - 1 mod 5

4 n^{2} + 1 \equiv 0 mod 5

Das ist meine erste Rechnung mittels Kongruenz. Ich offe ich hab keine dummen Fehler gemacht.

Danke für eure Antworten!

ermanus aktiv_icon

19:36 Uhr, 16.10.2016

Alles prima!
Gruß ermanus

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