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Beweis
Schüler Fachschulen, 12. Klassenstufe
Tags: Übriges
 
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anonymous 18:52 Uhr, 04.05.2006  |
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Hi ihr! Brauch mal dringend Hilfe. Soll folgendes beweisen... a) In jedem Dreieck schneiden sich die Seitenhalbierenden in jedem Punkt S. Dieser Punkt S teilt jede der Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1. b) Sind Vektor a, Vektor b und Vektor c die Ortsfaktoren der Eckpunkte eines Dreiecks und Vektor s der Ortsvektor des Schnittpunktes der Seitenhalbierenden, dann gilt Vektor s= 1/3*(Vektor a+ Vektor b+ Vektor c). Würd mich echt interessieren wie das geht! Danke für eure Hilfe! lg Masso |
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Hallo, bisher kannte ich einen Beweis, daß der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden diese im Verhältnis 2:1 teilt, allerdings war Voraussetzung, daß es einen gemeinsamen Schnittpunkt gibt. Das soll hier aber erst bewiesen werden, also muß man sich etwas anderes einfallen lassen. Die Teilaufgabe b) gibt den entscheidenden Hinweis a) Gegeben ist ein Dreieck mit den Eckpunkten A, B und C. Es seien 0A=a, 0B=b und 0C=c die Ortsvektoren der Punkte A, B und C. Es seien weiterhin die Mittelpunkte der Dreiecksseiten festgelegt: Ma ist der Mittelpunkt der Seite, die durch die Punkte B und C gebildet wird. Der Ortsvektor des Punktes Ma ist 0Ma=1/2*(0B+0C)=1/2*(b+c)=1/2*b+1/2*c. Mb ist der Mittelpunkt der Seite, die durch die Punkte A und C gebildet wird. Der Ortsvektor des Punktes Mb ist 0Mb=1/2*(0A+0C)=1/2*(a+c)=1/2*a+1/2*c. Mc ist der Mittelpunkt der Seite, die durch die Punkte A und B gebildet wird. Der Ortsvektor des Punktes Mc ist 0Mc=1/2*(0A+0B)=1/2*(a+b)=1/2*a+1/2*b. Es seien die Punkte Sa, Sb und Sc wie folgt festgelegt: Sa liegt auf der Geraden durch A und Ma, d.h. auf der Seitenhalbierenden durch A und es sei |ASa|=2/3*|AMa|, d.h. Sa ist doppelt so weit von A entfernt wie von Ma. Mit anderen Worten: Sa teilt die Seitenhalbierende durch A im Verhältnis 2:1. Die Koordinaten von Sa lassen sich wie folgt berechnen: 0Sa=0A+2/3*AMa=a+2/3*(0Ma-0A)=a+2/3*(1/2b+1/2c-a) =a+1/3*b+1/3*c-2/3*a=1/3*a+1/3*b+1/3*c=1/3*(a+b+c) Sb liegt auf der Geraden durch B und Mb, d.h. auf der Seitenhalbierenden durch B und es sei |BSb|=2/3*|BMb|, d.h. Sb ist doppelt so weit von B entfernt wie von Mb. Mit anderen Worten: Sb teilt die Seitenhalbierende durch B im Verhältnis 2:1. Die Koordinaten von Sb lassen sich wie folgt berechnen: 0Sb=0B+2/3*BMb=b+2/3*(0Mb-0B)=b+2/3*(1/2a+1/2c-b) =b+1/3*a+1/3*c-2/3*b=1/3*a+1/3*b+1/3*c=1/3*(a+b+c) Sc liegt auf der Geraden durch C und Mc, d.h. auf der Seitenhalbierenden durch C und es sei |CSc|=2/3*|CMc|, d.h. Sc ist doppelt so weit von C entfernt wie von Mc. Mit anderen Worten: Sc teilt die Seitenhalbierende durch C im Verhältnis 2:1. Die Koordinaten von Sc lassen sich wie folgt berechnen: 0Sc=0C+2/3*CMc=c+2/3*(0Mc-0C)=c+2/3*(1/2a+1/2b-c) =c+1/3*a+1/3*b-2/3*c=1/3*a+1/3*b+1/3*c=1/3*(a+b+c) Man sieht, daß die Ortsvektoren 0Sa, 0Sb und 0Sc gleich sind, damit fallen die Punkte Sa, Sb und Sc aufeinander und wir bezeichnen diesen Punkt im folgenden nur noch mit S und den Ortsvektor 0S mit s. Damit gilt: s=1/3*(a+b+c). Für diesen Punkt S gilt: Er liegt auf allen 3 Seitenhalbierenden. Da die Seitenhalbierenden nicht zusammenfallen (nicht einmal paarweise) gilt, daß sich diese Seitenhalbierenden in diesem einen Punkt S schneiden. Also schneiden sich die Seitenhalbierenden in genau einem Punkt. Da S gemäß Konstruktion der Punkte Sa, Sb und Sc alle Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 schneidet und S der gemeinsame Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist, schneidet der gemeinsame Schnittpunkt der Seitenhalbierenden diese im Verhältnis 2:1. b) Siehe Teilaufgabe a) Die Festlegungen und Bezeichnungen in a) entsprechen exakt den Vorgaben der Teilaufgabe b) und somit ist bewiesen, daß s=1/3*(a+b+c) ist. |
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