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Beweis
Universität / Fachhochschule
Tags: Analysis
 
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anonymous 22:13 Uhr, 17.06.2006  |
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Guten Abend... Ich habe ein großes Problem mit zwei Beweisen, bei welchem mir hoffentlich jemand weiterhelfen kann. I)Sei f:R->R eine stetige Fkt. Zeigen Sie das die Nullstellenmenge N={x ele R|f(x)=0} von f abgeschlossen ist. Nennen Sie je ein Beispiel einer stetigen Fkt. f:R->R mit kompakter bzw. nichtkompakter Nullstellenmenge Also ich habe mir überlegt, da jede endliche Menge kompakt ist, dass man nur noch zeigen muss, dass dies auch für unendliche Mengen gilt, so wie die stetige konstante Nullfkt. Als Bsp zur kompakten Nullstellenmenge, kann man doch jede Polynomfkt. nehmen, oder? II) Gegeben sei eine stetige Fkt. g:Q->R Zeigen Sie, dass es höchstens eine stetige Fkt f:R->R geben kann mit f|Q=g. [f|Q Die Restriktion auf Q] Hierzu weiß ich leider überhaupt keinen Ansatz. Ich hoffe hier weiß jemand weiter und kann mir helfen, das wäre sehr nett. Liebe Grüße Marie |
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anonymous 23:30 Uhr, 17.06.2006 |
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ZU I: Also, dass die Nullstellenmenge abgeschlossen ist, ost irgendwo trivial. Denn existiert nur eine Nullstelle, dann ist sie abgesachlossen. Genau das gleiche gilt, wenn es endlich viele Nullstellen gibt. Gibt es unendlich viele Nullstellen, so ist es entweder ein abgeschlossenes Intervall oder ganz IR. IR ist ja offen und abgeschlossen. Zu den Beispielen. f(x)=x hat nur die Nullstelle x=0. Also kompakte Nullstellenmenge. F(x)=0 hat die Nullstellenmenge IR. Und R ist ja nicht kompakt, da nicht jede Überdeckung eine endliche Überdeckung hat, die IR überdeckt :-). |
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Vielen, vielen Dank für deine Antwort, doch ich bin noch im 1.Semster, also wird das doch so nicht als Beweis reichen oder? In dieser Richtung hab ich auch gedacht, doch für den Fall von unendlichvielen Nullstellen, muss man doch noch zeigen dass es auch wirklich abgeschlossene Intervalle sind, oder nciht? Naja und zur II hab ich immer noch keine Idee :( Liebe Grüße Marie |
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anonymous 16:06 Uhr, 18.06.2006 |
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Hallo, so trivial wie die erste Behauptung hier hingestellt wird ist sie übrigens auch gar nicht. Betrachte doch mal f(x)=sin(x) und die zugehörige Menge der Nullstellen N={x aus IR | sin(x)=0} = {x aus IR | x = k*pi, k aus IZ } Diese Menge ist nicht endlich und auch kein Intervall. Zum Beweis habe ich folgende Idee, bin mir aber auch nicht ganz sicher. Die Menge N ist ja abgeschlossen, wenn jeder Häufungspunkt der Menge in N liegt. Für jede konvergente Folge x_n in N muss also lim x_n in N liegen. Angenommen, es gibt nun eine Folge (x_n) in N, deren Grenzwert x nicht in N liegt. Dann ist f(x_n)=0, für alle n, weil x_n aus N ist. Allerdings ist lim f(x_n) = f(lim x_n) = f(x) ungleich 0, aufgrund der Stetigkeit von f und weil x keine Nullstelle ist. Widerspruch zu f(x_n)=0, für alle n! Vielleicht hilft dir das ja weiter. Vielleicht aber auch nicht, da ihr Abgeschlossenheit ganz anders definiert habt... |
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Hallo Marie, zu I) Zeige doch, dass die komplementäre Menge offen ist; dies ist leichter, da die Definition der Stetigkeit direkt ausgenutzt werden kann. zu II) Wenn f_1 und f_2 zwei stetige Fortsetzungen von f sind, dann betrachte h = f_2 - f_1. h ist stetig und besitzt Q als Teilmenge ihrer Nullstellenmenge. h kann an keiner Stelle außerhalb Q von 0 verschieden sein, da nach I) eine offene Umgebung dieser Stelle ebenfalls nullstellenfrei wäre. Gruß Rentner |
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Hallo ähm....Rentner, ich hab da mal ein paar Fragen zu der II): Was genau sind stetige Fortsetzungen einer stetigen Funktion? Und könntest du vllt die ganze Sache noch ein bisschen ausführlicher erklären wenn es geht, ich hab es leider nicht so ganz verstanden :P Trotzdem danke nochmal Liebe Grüße Marie |
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Hallo Marie, nach II) hast Du eine stetige Funktion f:Q --> R gegeben; h: R --> R (h stetig) ist stetige Fortsetzung von f, wenn h|Q = f ist (wie in Deiner Situation). Wenn f_1 und f_2 zwei stetige Fortsetzungen von g sind, dann ist zu zeigen, dass f_1 = f_2 sein muss (höchstens eine Fkt.!!!). Mit h = f_1 - f_2 hast Du eine weitere stetige Funktion von R nach R; da h|Q = f_1|Q - f_2|Q = 0 (Nullfunktion!), ist h = 0. Dies liegt daran, dass auch für ein beliebiges x_0 aus R\Q h(x_0) = 0 sein muss. Wäre nämlich h(x_0) <> 0, dann gäbe es wegen der Stetigkeit von h eine Delta-Umgebung von x_0, in der h(x) <> 0 ist. Das kann nicht sein, da Q in R dicht liegt. Gruß Rentner |
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Das mit der konstanten Nullfkt. macht für mcih keinen wirklichen Sinn, du definierst dir doch die beiden Fkt f1 und f2 so dass da 0 rauskommt... Liebe Grüße Marie sry das ich mcih so dumm anstelle |
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Hallo Marie, Du hast eine stetige Funktion g:Q-->R gegeben und sollst zeigen, dass es höchstens eine stetige Funktion f:R-->R gibt mit f|Q = g. Du kannst dies zeigen, wenn Du folgendes nachweisen kannst: 1. Aus der Annahme, dass es mindestens zwei verschiedene stetige Fortsetzungen f_1 und f_2 von g gibt, folgt ein Widerspruch oder 2. Wenn man zwei beliebige stetige Fortsetzungen f_1 und f_2 von g hat, dann folgt f_1 = f_2. Beweisidee zu 1. Seien also f_1 und f_2 zwei verschiedene stetige Fortsetzungen von g, dann gibt es ein x_0 aus R mit f_1(x_0) <> f_2(x_0); x_0 kann nicht in Q liegen, da f_1|Q = g = f_2|Q. Definiere nun die Funktion h = f_1 - f_2 und betrachte die Nullstellenmenge von h. h ist wiederum stetig, und nach der oberen Teilaufgabe ist die Nullstellenmenge von h abgeschlossen, die Komplementärmenge also offen. x_0 ist nach Voraussetzung in dieser Komplementärmenge, und damit gibt es eine Delta-Umgebung von x_0, die ganz in dieser Komplementärmenge liegt; dies bedeutet aber, dass h auf der ganzen Delta-Umgebung von x_0 keine Nullstelle besitzt. Andererseits liegen aber in jeder Umgebung von x_0 rationale Zahlen, und das sind sicher Nullstellen von h (wegen der Definition von h). Beweisidee zu 2. Auch hier kannst Du h = f_1 - f_2 als Differenz der stetigen Fortsetzungen von g definieren. Um zu zeigen, dass f_1 = f_2 ist, genügt es nachzuweisen, dass h auf R die Nullfunktion ist. Sei also x_0 eine beliebige reelle Zahl. Wähle zu jedem n eine rationale Zahl a_n mit der Eigenschaft |x_0 - a_n| < 1/n. Dies ist möglich, da Q in R dicht liegt. (a_n) ist eine Folge, die gegen x_0 konvergiert, und es gilt für alle n: h(a_n) = f_1(a_n) - f_2(a_n) = g(a_n) - g(a_n) = 0; wegen der Stetigkeit von h an der Stelle x_0 folgt nun, dass h(x_0) ebenfalls 0 sein muss. Beweisidee 1 ist eher auf die vorangehende Teilaufgabe abgestimmt. Gruß Rentner |
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