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Beweis

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21:55 Uhr, 12.02.2017

Hallo, ich bitte mal um Überprüfung meines Beweises für die folgende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass $\frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a \cdot b}$ für $0 < a \leq b$ gilt.

Beweis:

${(a - b)}^{2} \geq 0$ da alle Quadrate nichtnegativ sind

$\Leftrightarrow a^{2} - 2 \cdot a \cdot b + b^{2} \geq 0$

$\Leftrightarrow a^{2} + 2 \cdot a \cdot b + b^{2} \geq 4 \cdot a \cdot b$ da $a, b$ gemäß Definition positiv sind

$\Leftrightarrow {(a + b)}^{2} \geq 4 \cdot a \cdot b$

$\Leftrightarrow \frac{{(a + b)}^{2}}{4} \geq a \cdot b$

$\Leftrightarrow \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a \cdot b}$

Ist der Beweis so akzeptabel? Mir ist in diesem Fall nur umformen eingefallen.Ok normal müste die Reihenfolge andersrum sein oder?

LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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22:02 Uhr, 12.02.2017

Der Beweis ist prinzipiell richtig, allerdings ist der eine Kommenntar verwirrend: Das a und $b$ beide positiv sind ist gar nicht wichtig, wenn du auf beiden Seiten $4 \cdot a \cdot b$ addierst.

Wihtig wird das erst im letzten Schritt, bei

$\frac{{(a + b)}^{2}}{4} \geq a \cdot b$

$\Leftrightarrow a + \frac{b}{2} \geq \sqrt{a \cdot b}$

Da gilt das $\Leftrightarrow$ nur, weil a und $b$ positiv sind.

Edit: Die Reihenfolge ist so tatsächlich durchaus auch gebräuchlich (aus einer wahren Aussage folgerst du das was du beweisen willst).

Einen nicht nur auf Umformungen beruhenden Beweis kannst du über die Umordnungsungleichung bauen (sofern sie dir bekannt ist).

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22:06 Uhr, 12.02.2017

Danke dir,

ja jetzt habe ich es auch gemerkt :-) Das Relationszeichen dreht sich natürlich nur bei der Multiplikation mit einer negativen Zahl. Im letzten Schritt wird mein Kommentar natürlich wichtig wegen der Wurzel.

Edit: Die Umordnungsungleichung ist mir nicht bekannt.

LG

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22:12 Uhr, 12.02.2017

Möchtest du den Beweisweg denn sehen?

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22:14 Uhr, 12.02.2017

Ja sehr gerne.

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22:35 Uhr, 12.02.2017

Ok, dann hier erstmal eine kurze EInführung in die Umordnungsungleichung:

Gegeben sind zwei endliche, nichtnegative Folgen $a_{n}$ und $b_{n}$ mit $n$ Gliedern.
Sowohl $a_{n},$ als auch $b_{n}$ seien sortiert (also $a_{i} > a_{i + 1}$ für alle $i < n,$ analog für $b)$ .

Außerdem sei $c_{n}$ eine Permutation (=Umordnung) von $a_{n}, d . h$ . die Folge $a_{n}$ und $c_{n}$ haben genau die gleichen Elemente aber $i$ einer unterschiedlichen Reihenfolge, insbesondere ist $c_{n}$ dann nicht mehr zwingend sortiert.

Dann besagt die Umordnungsungleichung, das wenn man die Elemente von $a_{n}$ und $b_{n}$ paarweise multipliziert und aufaddiert die Summe größer (oder gleich) ist, als das, was man bekommt, wenn man $c_{n}$ und $b_{n}$ paarweise aufaddiert, in Formeln:

$a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + ... + a_{n} \cdot b_{n} = \sum_{i = 1}^{n} a_{i} \cdot b_{i} \geq \sum_{i = 1}^{n} c_{i} \cdot b_{i} = c_{1} \cdot b_{1} + c_{2} \cdot b_{2} + ... + c_{n} \cdot b_{n}$

Ein anschauliches Beispiel:
Sei $a_{n}$ die Folge der Eurogeldscheine (also $500, 200, 100, 50, 20, 10, 5)$ und $b_{n}$ eine Folge von Zahlen $(7, 6, 5, 4, 3, 2, 1)$ .
Dann hast du logischerwiese am meisten Geld, wenn du die größte Zahl mit dem wertvollsten Geldschein kombinierst, also $7 \cdot 500 + 6 \cdot 200 + 5 \cdot 100 + ... . + 1 \cdot 5$ .
Wenn du jetzt eine beliebige Umordnung der Folge $a_{n}$ vornimmst und so eine Permutation $c_{n}$ erschaffst $(z . B$ . $200, 500, 100, 50, 20, 10, 5)$ und die Zahlen dann mit den Banknoten kombinierst (also $7 \cdot 200 + 6 \cdot 500 + 5 \cdot 100 + ... + 1 \cdot 5),$ kann da nicht mehr Geld rauskommen...

Soweit zur Umordnungsungleichung, das ist neben AM-GM (die du gerade beweist) ein der einfachsten Ungleichungen.

Zum Beweis selber:

Unsere Folgen sind zwei Elemente lang. Die erste und die zweite FOlge sind außerdem identisch und lauten beide $\sqrt{a}, \sqrt{b}$ (und sind damit nach diener Voraussetzung sortiert). als dritte Folge nehmen wir die einzige (nichttriviale) ermutation, nämich $\sqrt{b}, \sqrt{a}$ .

Dann sagt und die Umordnugsungleichung:

erste Folge mal zweite Folge $\geq$ dritte Folge mal zwete Folge
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} + \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} \geq \sqrt{b} \cdot \sqrt{a} + \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$

$\Leftrightarrow a + b \geq 2 \cdot \sqrt{a \cdot b}$
$\Leftrightarrow \frac{a + b}{2} \geq \sqrt{a \cdot b}$

Es macht also keinen Sinn für den Beweis deiner Ungleichung die Umordnungsungleichung heranzuziehen, wenn man sie vorher noch nicht kannte (und ggf. bewiesen hat), aber es schadet sicher nichs den Beweis ma zusehen :-D)

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22:42 Uhr, 12.02.2017

Ok super, vielen Dank :-)

Ich habe es so einigermaßen verstanden, gut erklärt! Ob ich das anwenden kann, müsste ich dann natürlich mal probieren.
Aber eine Sache ist mir noch nicht klar, was ist AM-GM ?

Danke lg

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22:45 Uhr, 12.02.2017

AM und GM sind zwei Möglichkeiten aus $n$ Zahlen einen Mittelwert zu bilden

AM = Arithmethisches Mittel (alle Zahlen addieren und durch $n$ teilen)
GM = Geometrisches Mittel (alle Zahlen multiplizieren und die nte Wurzel ziehen)

Allgemein gilt AM $\geq$ GM. Die Formel, die du beweisen willst wäre genau der Sonderfall für $n = 2$ .

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22:47 Uhr, 12.02.2017

achja, logo :-D)

stimmt, das habe ich jetzt gar nicht erkannt, weil ich mich nur auf den Beweis konzentriert hatte.

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