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Beweis

Universität / Fachhochschule

Tags: Bild, Endomorphismus, Kern, Komposition, Vektorraum

Nick2344 aktiv_icon

11:14 Uhr, 11.12.2017

Hallo,
ich soll folgende Aussagr beweisen:

Es sei

f

ein Endomorphismus eines endlich-dimensionalen K-Vektorraums

V

. Man zeige: aus

f

◦

f = f

folgt, dass

V =

kerf ⊕imf.

Meine Ideen:
Ein Endomorphismus ist eine Abbildung

f : V \to V

f

◦

f = f

was soll das bringen?
Ich muss zeigen, dass ker

f +

f = V

und ker

f \cap

f = {0}

Kann mir jmd da einen Tipp geben?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

12:24 Uhr, 11.12.2017

Hallo,

diese Aufgabe kommt hier auch jedes Jahr einmal vor.

> Kann mir jmd da einen Tipp geben?

Ok, aber nur ein kleiner Tipp:
Betrachte zu

v \in V

mal

w := v - f (v)

bzw.

f (w)

.

Mf Michael

Nick2344 aktiv_icon

13:40 Uhr, 11.12.2017

Ich verstehe deinen Tipp nicht ganz. Was kann ich damit jetzt machen?

michaL aktiv_icon

14:45 Uhr, 11.12.2017

Hallo,

> Ich verstehe deinen Tipp nicht ganz. Was kann ich damit jetzt machen?

Hast du mal

f (w)

berechnet?

Mfg Michael

Nick2344 aktiv_icon

19:56 Uhr, 11.12.2017

Also

f (w) = f (v - f (f (v))) = f (v - v) = f (0), d . h w \in

ker

f

Aber wie kommst du auf

w := v - f (v)

michaL aktiv_icon

20:25 Uhr, 11.12.2017

Hallo,

> Aber wie kommst du auf w:=v−f(v)?

Naja, weil doch

f^{2} = f

gilt.
Zudem kommt diese Aufgabe alle Jahre wieder. Und ob ich damals als Student diese Idee selbst hatte, weiß ich jetzt nicht mehr.

Ist denn jetzt klar, wie du ein

v \in V

v = x + y

zerlegen kannst mit

x \in \ker f

und

y \in Im f

?

Mfg Michael

Nick2344 aktiv_icon

20:34 Uhr, 11.12.2017

Leider noch nicht so klar. Tut mir leid:(

michaL aktiv_icon

20:49 Uhr, 11.12.2017

Hallo,

ok, dann also die Nahezu-Total-Vollständig-Lösung:

(i) Zeige:

V \subseteq \ker f + Im f

:
Sei dazu

v \in V

. Definiere:

w := v - f (v) \in \ker f

und

x := f (v) \in Im f

.
Dann gilt

v = \underset{w}{\underset{⎵}{(v - f (v))}} + \underset{x}{\underset{⎵}{f (v)}} \in \ker f + Im f

.

Die umgekehrte Inklusion "

\supseteq

" ist wohl klar, da sicher

\ker f, Im f \subseteq V

, also auch

\ker f + Im f \subseteq V

.

Damit gezeigt:

\ker f + Im f = V

(ii) Zeige:

\ker f

:
Sei

v \in \ker f

, d.h.
es ex.

u \in V

mit

v = f (u) \in Im f

(I)
und es gilt

f (v) = 0

(II)
wegen

v \in \ker f

.

Setze zusammen:

0 \overset{(II)}{=} f (v) \overset{(I)}{=} f (f (u)) \overset{f^{2} = f}{=} f (u) \overset{(I)}{=} v

Also gilt wegen (i) und (ii):

V = \ker f \oplus Im f

.

Mfg Michael

PS: Beantworte: Wo hätte ich abseits davon noch Tipps geben können?

Nick2344 aktiv_icon

21:04 Uhr, 11.12.2017

Ne du hättest nicht mehr Tipps geben können. Ich danke dir auf jeden Fall für deine Lösung.

Auf die Idee mit

w := v - f (v)

würde ich leider nicht kommen. Warum sagst du, dass

w \in

ker

f

ist. Muss ich das nicht noch zeigen? Also es gilt ja:

(f o f) (v) = f (v)

mit

v \in V, d . h

f (f (v)) = f (v) \to f (f (v)) - f (v) = 0 \to f (f (v) - v) = 0, d . h

f (v) - v \in

ker

f

.

Es ist zwar irgendwie andersrum aber muss ich das nicht nachweisen, dass es wirklich im ker

f

ist?

michaL aktiv_icon

22:00 Uhr, 11.12.2017

Hallo,

haben wir als aller erstes nachgerechnet. Siehe erstes posting meinerseits!

Mfg Michael

Nick2344 aktiv_icon

22:59 Uhr, 11.12.2017

Ich danke dir . Ich habe es verstanden :-)

Tut mir leid, dass immer die gleichen Fragen kommen:(

Einen schönen Abend dir noch :-)

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