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Beweis Absoluter Konvergenz => Konvergenz

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: absolute Konvergenz, Konvergenz

8mileproof aktiv_icon

01:34 Uhr, 20.11.2011

hi,

ich muss in einer aufgabenstellung folgendes zeigen:

Sei

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

eine reele Zahlenfolge und die reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{n}

absolut konvergent. Zeigen sie dass dann auch die reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{n}^{2}

konvergent ist.

kann mir jmd. tipps geben wie ich das zeigen kann? ich weiß, dass aus absoluter konvergenz die konvergenz folgt. und nicht umgekehrt. also gilt absolute konvergenz

\Rightarrow

konvergenz.

ich dachte da an folgende vorgehensweise:

A \Rightarrow B \Leftrightarrow

nicht

B \Rightarrow

nicht A

aber ich habe keine ahnung wie ich das formal aufschreiben kann. auf meinem zettel habe ich folfendes hingekritzelt:

Angenommen

a_{n} < 1

\sum_{k = 1}^{\infty} | a_{n} | = a_{n} < 1

also ist die reihe absolut konvergent. wie gehe ich allerdings über zur anderen reihe

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{n}^{2}

und zeige dass diese konvergent ist?

edit: ich weiß, dass das was ich oben nichts taugt, allerdings habe ich keine ahnung wie das zu machen ist...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Edddi aktiv_icon

13:59 Uhr, 21.11.2011

. .

a_{n}

kann durchaus größer 1 sein. Angenomen die Summe konvergiere gegen

p :

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{n} = p

so ist:

\frac{1}{p} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} a_{n} = 1

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{a_{n}}{p} = 1

daraus folgt dann

\frac{a_{n}}{p} < 1

\frac{a_{n}^{2}}{p} < a_{n}

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{a_{n}^{2}}{p} < \sum_{k = 1}^{\infty} a_{n}

\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{a_{n}^{2}}{p} < p

\frac{1}{p} \cdot \sum_{k = 1}^{\infty} a_{n}^{2} < p

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{n}^{2} < p^{2}

...damit konvergiert

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{n}^{2}

(zumindestens, wenn man nur positive

a_{n}

berücksichtigt) gegen einen Wert

< p^{2}

...ist nur so eine Idee...vielleicht hilft dir das irgendwie weiter...

;-)

Shipwater aktiv_icon

21:17 Uhr, 26.11.2011

Du meintest sicherlich

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

anstatt

\sum_{k = 1}^{\infty} a_{n}

oder?

\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}

ist absolut konvergent heißt ja, dass

\sum_{n = 1}^{\infty} | a_{n} |

konvergent ist. Damit muss

| a_{n} |

eine Nullfolge sein (Trivialkriterium). Somit gilt

| a_{n} | < 1

für fast alle

n \in ℕ

also auch

a_{n}^{2} < | a_{n} |

für fast alle

n \in ℕ

. Jetzt musst du dich nur noch des Majorantenkriteriums bedienen.

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