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Beweis Abstand zwischen Punkt und Gerade
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen
 
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Guten Morgen, Es tut mir leid, war mir nicht sicher wo dieses Thema hingehört. Wie beweise ich, dass der kürzeste Abstandsvektor zwischen einem Punkt und einer Ge- raden senkrecht auf der Geraden steht. ? Vielen Dank im vorraus ;=) Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, angenommen der Vektor zwischen dem Punkt ausserhalb der Geraden und seinem nächsten Punkt auf der Geraden stünde nicht senkrecht auf der Geraden und es gäbe einen Punkt auf der Geraden, der mit dem Punkt ausserhalb der Geraden einen zur Geraden senkrechten Vektor bilden würde, dann bilden die drei Punkte ein rechtwinkliges Dreieck: eine Kathete liegt auf der Geraden, die zweite Kathete bildet den Abstand des Punktes ausserhalb der Geraden und dem Punkt auf der Geraden, der diesem nicht am nächsten ist. Dann bildet der Punkt ausserhalb der Geraden und sein nächster Punkt auf der Geraden die Hypothenuse dieses rechtwinkligen Dreiecks und die Hypothenusenlänge ist gleich dem Abstand zum nächsten Punkt. Da aber die Hypothenuse die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks ist, wäre der Abstand zum nächsten Punkt größer als der Abstand zum Punkt auf der Geraden, der am Schnittpunkt der Katheten und ebenfalls auf der Geraden liegt. Das ist ein Widerspruch, so dass die Annahme falsch war. Wenn man jetzt noch zeigt(oder bereits gezeigt hat), dass es immer einen Punkt auf der Geraden gibt, der mit dem Punkt ausserhalb der Geraden einen zu Geraden orthogonalen Vektor bildet, dann ist man fertig. |
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