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Beweis Assoziativität & Kommutativität N mit Peano

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Tags: Algebraische Zahlentheorie, Assoziativität, Kommutativität, Peano-Axiome

 
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MatheMar

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15:38 Uhr, 12.07.2017

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Hallo.

Das ist meine letzte Aufgabe für Algebra. Und ich brauche noch einmal ein paar Punkte.

Ich habe folgende Aufgabenstellung:

"Beweise die Kommutativität und Assoziativität von ℕ nur mithilfe der 5 Peano-Axiome"

Mein Lösungsversuch:

1) Assoziativität. zz.: (a+b)+c=a+(b+c)

IA: c=1:(a+b)+1=(a+b)'⇔a+(b+1)=a+b'=(a+b)'
IV: Für c<n:(a+b)+c=a+(b+c)
IS:Sei c=n>1, so existiert ein d∈ℕ mit d'=d+1=c
Es gilt:
(a+b)+c=((a+b)+d')=((a+b)+d)'
nach IV: =(a+(b+c))'=a+(b+d)'=a+(b+d')=a+(b+c)

2) Kommutativität. zz.: a+b=b+a

IA: 2+1=1'+1=1+1+1=1+1'=1+2
IV1: für b<n:a+b=b+a
IS1: Sei b=n>1, so existiert ein d∈ℕ mit d'=b
Es gilt:
1+b=1+d'=(1+d)'=(d+1)'=d+1'=d+(1+1)=(d+1)+1=d'+1=b+1
Also kommutiert jede Zahl mit 1. Daraus folgt:
a+b+1=a+b'=(a+b)'=(b+a)'=b+a'=b+a+1

Finde das aber irgendwie komisch. Stimmt das? Falls nein, wie könnte ich es anders machen?
Bin für jede Hilfe echt dankbar, ist nämlich wichtig.

Mit freundlichen Grüßen
Mathemar

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