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Beweis (Aufgabe mit Würfel)
Schüler Gymnasium, 10. Klassenstufe
Tags: Knobelaufgabe, Raupe frisst sich durch Würfel
 
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anonymous 14:46 Uhr, 24.10.2008  |
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Hallo, ich habe eine ziemlich knifflige Aufgabe mit der ich leider gar nicht weiterkomme: In einem Würfel, der drei Teilwürfel hoch, drei Teilwürfel breit und drei Teilwürfel lang ist, schlüpft in die Mitte eines Teilwürfels eine Raupe. Diese frisst sich nun jeweils von der Mitte eines Teilwürfels kantenparallel bis zur Mitte eines benachbarten Teilwürfels durch, wo sie sich entweder häutet oder verpuppt. (Dabei heißen zwei Würfel genau dann benachbart, wenn sie eine gemeinsame Seitenfläche haben). Nach jeder ihrer Häutungen ändert sie ihre Richtung und setzt die Reise fort. Insgesamt häutet sich die Raupe 25-mal, bevor sie sich verpuppt und so ihre Reise beendet. Man beweise, dass es einen Teilwürfel gibt, in dem die Raupe nicht gewesen ist. Ich bräuchte einen Ansatz oder irgendeinen Tipp, wie ich die Aufgabe lösen könnte (möglichst einfach). Mit freundlichen Grüßen, BmalB Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Finde die Aufgabe interessant - muss nur gleich weg, also vorerst ein paar erste Gedanken... Der Würfel hat Teilwürfel. Wir müssen zeigen, dass sie in (mind.) einem davon nicht gewesen ist. Nachdem "schlüpfen, häuten, verpuppen" in insgesamt Stufen stattfindet, bedeutet das, sie war also in mind. einem Würfel zwei Mal (oder öfter) drinnen bzw. das muss also gezeigt werden... Evtl. könnten wir es mit einem Widerspruchsbeweis versuchen. Wir nehmen also an, die Raupe wäre in allen Würfeln genau einmal drinnen gewesen. Zur besseren Vorstellung "färbe" ich die Teilwürfel in einem Schachbrettmuster, der innerste sei schwarz, die sechs drumherum weiß usw. Wir haben dann schwarze und weiße Teilwürfel (hoffe, man kann sich das bildlich gut vorstellen...). Bei jedem Übergang wechselt die Raupe die Farbe. Wir können 2 Fälle unterscheiden. Der erste, nämlich wenn sie in einem weißen Würfel startet, ist ganz leicht - nämlich warum? Muss nun weg, denke dann später weiter nach - vielleicht kommst Du ja eh schon auf die Lösung mittlerweile... |
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anonymous 15:20 Uhr, 24.10.2008 |
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Danke fantasma, ich glaube es bringt mich weiter. Ich versuche den Gedanken weiterzuführen.  |
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Hallo, Fantasma hatte schon den richtigen Gedanken, nur ging es dann mit den Farben etwas durcheinander. Also sei der mittlere Wuefel (bzw. der innerste) schwarz. Dann gibt es schwarze und weisse Wuerfel. Starten wir nun in einem schwarzen Wuerfel, muessten wir auch in einem schwarzen ankommen (wegen der ungeraden Zahl der Wuerfel). Andererseits muessen die Farben alternieren. Das widerspricht sich. Daher waere der Teil bewiesen. Den anderen kann man nicht beweisen, weil er nicht stimmt. Wenn man in einem weissen Wuerfel startet . unten links vorne), kann man sehr wohl durch alle Wuerfel kriechen, ohne sich zu wiederholen. Gruss, Reilly PS: Nur damit es keine Verwirrung gibt. Die Faerbung, die ich hier annehme ist invers zu der in Deiner Grafik. |
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@reilly Du hast Recht, auf die Schnelle hab' ich das mit den und Teilwürfeln verwechselt. Also sind wir uns nun einig, dass die Aufgabe bewiesen ist für den Fall, dass wir in einem der schwarzen Teilwürfel starten. Zum zweiten Fall muss ich mir erst noch Gedanken machen - aber nachdem Du jedenfalls das Gegenteil der Behauptung "behauptest" (wie das klingt... *gg*) - musst Du es schon ganz konkret beweisen! |
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anonymous 16:30 Uhr, 24.10.2008 |
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Hi Reilly Wie kommst du darauf, dass wenn die Raupe in einem weißen Würfel anfängt, dass sie auch alle durchlaufen kann? Wenn ich es ausprobiere finde ich keinen Weg ohne einen Würfel zweimal zu durchlaufen. Ich muss ja immer die Richtung ändern. Ich kann leider nicht mehr weiterdiskutieren, da ich jetzt weg muss. Vielleicht finde ich abends nochmal Zeit. Ich sag aber auf jeden Fall bescheid, wenn ich zu neuen Erkenntnissen bei der Aufgabe gekommen bin. |
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Beweis per Gegenbeispiel: Ich nummeriere die neun Felder einer Ebene folgendermassen: und starte in der untersten Ebene unten links. Mein Pfad: Nun gehe ich eine Ebene rauf und bin dort in 9. Der Pfad: Und nochmal eine Ebene rauf und ich bin in der 1. Ratet mal... Alle Felder besucht. Oder habe ich irgendwas ueberlesen? Gruesse, Reilly |
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Ach, sorry, die Richtungsaenderung habe ich ueberlesen... Mein Fehler. Also doch nochmal nachdenken... |
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Habt ihr jetzt eigentlich schon einen Beweis gefunden? |
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anonymous 10:25 Uhr, 26.10.2008 |
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Nein leider nicht, ich hab aber erfahren dass die Aufgabe aus der Mathe-Olympiade stammt und die Lösung davon ab veröffentlicht wird. Da ich überhaupt nicht weiterkomme muss ich wohl bis dahin warten.
Danke an alle die mir geholfen haben. Viele Grüße BmalB |
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Mathe-Olympiade? Hui, dann ist es klar, dass die Lösung nicht so einfach aus'm Ärmel zu schütteln ist. Bis wann bräuchtest Du denn die Lösung? Oder hätt's Dich einfach nur mal so interessiert? Habe mir noch überlegt, dass man sich die Mittelpunkte der Teilwürfel auf dem "Gitter" eines neuen Würfels der Kantenlänge 2 vorstellen könnte. Dann ist der "Würfel" schon mal kleiner. Die Raupe wandert auf den "Gitterlinien" immer um eine Längeneinheit weiter und biegt dann jeweils in einem 90°-Winkel ab. Die Lösung als solche ist mir allerdings auch noch nicht eingefallen; ich bleibe dran! |
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So, ich glaube, ich habe den Beweis nun gefunden. Noch mal von Vorne also. Wir stellen uns die Mittelpunkte der Teilwürfel als Punkte auf dem Einheitsgitter eines Würfels der Kantenlänge 2 vor (Schnitpunkte der Gitterlinien). Es gibt dann 8 Eckpunkte, Kantenpunkte, 6 Seiten-Mittelpunkte und einen Würfel-Mittelpunkt (dies alles bezogen auf den neuen, kleineren Würfel!). Die Raupe bewegt sich auf den Gitterlinien. Schlüpfen, häuten und verpuppen findet in Schritten statt. Es ist zu zeigen: Die Raupe hat auf ihrem Weg nicht sämtliche genannten Punkte besucht. Beweis durch Widerspruch. Wir nehmen an, die Raupe hat auf ihrem Weg alle Punkte erreicht. Insbesondere liegen dann die 8 Eckpunkte auf ihrem Weg. Der zurückgelegte Weg zwischen zwei Eckpunkten beträgt mindestens 4 Schritte: Verlässt die Raupe einen Eckpunkt, so erreicht sie aufgrund der Abbiege-Vorschrift zwangsläufig einen Kantenpunkt, von diesem aus zwangsläufig einen Seiten-Mittelpunkt. Um von da aus wieder zu einem Eckpunkt zu gelangen, muss die Raupe den Umweg über einen Kantenpunkt gehen - insgesamt haben wir somit (mindestens) 4 Schritte. Selbst wenn der Startpunkt ein Eckpunkt ist, muss die Raupe also mindestens Schritte gehen, um alle Eckpunkte zu erreichen. Dies ist ein Widerspruch zur Aufgabenstellung, weshalb die Annahme falsch war. Beh. . |
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anonymous 19:03 Uhr, 27.10.2008 |
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Vielen Dank für deine Hilfe Fantasma, ich habe die Lösung verstanden und bin beeindruckt, dass du die Aufgabe gelöst hast! Darauf wäre ich echt nie gekommen. Sobald die Lösung veröffentlicht wird kann ich ja den Link auf diese Seite hier reistellen zum Vergleich. Nochmals vielen Dank BmalB |
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Gern geschehen! :-) Und ja, es würde mich freuen, wenn Du den Link hier reinstellst, sobald es ihn gibt. |
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anonymous 11:03 Uhr, 05.11.2008 |
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hier ist der versprochene Link:
http//www.mathematik-olympiaden.de/aufgaben/48/1/L48101.pdf damit kommt man direkt auf die Seite mit den Lösungen der Matheolympiade. (Aufgabe mit Raupe ist Aufgabe Nr. 481016
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Vielen lieben Dank - werde mich da mal ein wenig durcharbeiten :-) |
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