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Beweis: Aus Diffbarkeit folgt Stetigkeit
Universität / Fachhochschule
Differentiation
Tags: Differentiation
 
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Hi Bevor ich meine Fragen zum oben genannten Beweis stelle, noch eine allgemeine Frage zur Differentierbarkeit: Wenn man Differenzierbarkeit in definiert, wie kommt es dass man nur Funktionen untersucht, deren Wertebereich ein offenes Intervall ist - was wäre zB das Problem, wenn das Intervall abgeschlossen wäre? Nun zum Beweis, dass aus Differenzierbarkeit Stetigkeit folgt (dabei ist Diffbarkeit der Funktion im Punkt gegeben, wenn existiert): Beweis. Für (x_k)_k∈N ⊂ Ω mit → → gilt: − − (für und und somit strebt der ganze Ausdruck gegen Null bzw. gilt dass falls . Also folgt in jedem Fall → wie gewünscht. So, ich hab nun mehrere Fragen: Warum kann man einfach mal rechnen, als wäre es ein ganz normaler arithmetischer Ausdruck? Andere Frage: Geht es hier gar nicht um die Folgen, sondern einfach um die Grenzwerte, und rechnet man quasi mit denen? Geht es eigentlich immer um Grenzwerte, wenn man mit Folgen rechnet? Mit Folgen selbst kann man ja nicht gross rechnen Warum ist → genug, um Stetigkeit zu zeigen? Müsste man dafür nicht zeigen? Danke, und sorry, falls meine Fragen nicht so klar sind... |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hallo, in den Ecken kann man nicht bilden, weil man die Einschränkung x>x_0 bzw. x<x_0 benötigt. Die Funktion kann in Ecken also nur linksseitig oder rechtsseitig differentierbar. eine Funktion heißt stetig an der Stelle x_0, wenn gilt. ist Quatsch, denn dann wäre f konstant, falls dies für jedes Folgenglied x_k einer jeden Folge gelten würde. Wo wird denn x_k - x_0 gerechnet? Es wird doch nur erweitert, so als wenn ich schreiben würde?
Gruß Stephan |
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Danke!! Zum Erweitern: Ja, aber es wird ja mit einer Folge (oder deren Grenzwert) erweitert ist ja für eine Folge) - es ist ja nicht selbstverständlich, dass man das darf? Thx |
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Nein, es wird mit einem Folgenglied erweitert und nicht mit einer Folge. |
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ahh, dann wird immer mit einem einzigen Folgeglied erweitert, daraus entsteht aber eine neue Folge, und diese wiederum strebt gegen Null - versteh ich das richtig? |
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Ja, Du erweiterst jedes Folgenglied anders, aber die Folge selbst änderst Du natürlich nicht. Also z.B. machst Du aus 1, 1/2, 1/3, 1/4,... 1, 2/4, 3/9, 4/16,.. in dem Du das erste Glied mit 1, das zweite mit 2, das dritte mit 3... erweiterst. Der Grenzwert ist aber beide Male 0, weil es zweimal dieselbe Folge ist. |
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Super, alles verstanden, thx!! |
