Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Beweis Determinante gleich Produkt der Eigenwerte

Beweis Determinante gleich Produkt der Eigenwerte

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Eigenwerte

Tags: Determinante mit Eigenwerte berechnen

SRGSRG aktiv_icon

12:18 Uhr, 07.05.2017

Hallo Leute,

ich würde gerne beweisen das gilt

det (A) = λ 1 \cdot . .

\cdot λ n

.
A ist dabei eine

n x n

symmetrische Matrix.

Bei der Aufgabenstellung habe ich weiterhin gegeben.

N =

diag(

λ 1, . .

, λ n)

V = (v 1, . .

, v n)

orthogonale matrix

Nach Theorem gilt

V^{T} A V = N

.

Mein einziger Ansatz auf den ich komme geht über das charakteristische Polynom.

Beweis:

p (λ) = (λ - λ 1) \cdot . .

\cdot (λ - λ n)

mit

c 0

als konstanter term von

p (λ)

gegeben durch

p (0)

p (0) = (0 - λ 1) \cdot . .

\cdot (0 - λ n) = {(- 1)}^{n} λ 1 \cdot . .

\cdot λ n

p (o) = | 0 I - A | = | - A | = {(- 1)}^{n} | A |

womit gilt, dass

c 0 = {(- 1)}^{n} λ 1 \cdot . .

\cdot λ n = {(- 1)}^{n} | A |

\to | A | = λ 1 \cdot . .

\cdot λ n

ich bin mir nicht sicher ob das korrekt ist und ob es mit den gegebenen Daten evtl. einfacher geht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

SRGSRG aktiv_icon

12:40 Uhr, 07.05.2017

lol :-D)

ich glaube der schnellste ansatz wäre:

det (V^{T} A V) = det (V^{T}) \cdot det (A) \cdot det (V) = det (V^{T} V) \cdot det (A) = det (I) \cdot det (A) = 1 \cdot det (A) = det (N) = λ 1 \cdot . .

\cdot λ n

DrBoogie aktiv_icon

12:57 Uhr, 07.05.2017

Jawohl, so geht es.

1369323

1369309

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?