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Startseite » Forum » Beweis: Dimensionsformel: dim V = dim Kern V + dim Bild W
Beweis: Dimensionsformel: dim V = dim Kern V + dim Bild W
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 17:26 Uhr, 10.12.2006  |
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Skript nur einfach formel gegeben, aber gibt's kein Beweis.... wie kann man beweisen? Gruss |
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anonymous 18:15 Uhr, 10.12.2006 |
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Hi! Das ist nicht ganz trivial zu zeigen. Sei f: V->W VR-Hom Sei Ö:=(w_1,..,w_n) Basis von im(f) und seien Ü:=(v_1,...,v_n) so gewählt, dass f(v_i)=w_i => v_i's sind dann lin. unabhängig! Toll oder? Dann existieren u'_1,...,u'_m in V, sodass (v_1,..,v_n,u'_1,...,u'_m) eine Basis von V. Klar? Da Ö Basis von im(f), gilt folgendes: f(u'_i) = span(Ö) Sei u_i := u'_i - span(Ü) Wenden wir nun unseren f auf u_i: f(u_i) = f(u'_i) - f(span(Ü)) = span(Ö) - span(Ö) = 0 (weil, f(v_i)=w_i) => u_i liegt im ker(f) Herrlich! Also, B:=(v_1,..,v_n,u_1,..,u_m) eine Basis von V. Jetzt müsste man nur zeigen, dass (u_1,..,u_n) eine Basis von ker(f) ist... Dann wären wir fertig :) Und das ist nicht weiter schwer: (u_1,..,u_n) ist offenbar linear unabhängig. Also zeigen wir, dass (u_1,..,u_n) ein Erzeugendensystem von ker(f) ist :) -Sei x aus ker(f). Dann gilt: x=Span(B)=Span(v_1,..,v_n)+Span(u_1,..,u_m) -Wende f auf x an: 0 = f(x) = f(Span(v_1,..,v_n)) + f(Span(u_1,..,u_m)) = Span(w_1,..,w_n) + 0 Da (w_1,..,w_n) lin unabhängig => x = Span(u_1,..,u_m) -> fertig! Viel Spass, www.easytutor.de (Dein EasyTutor) :)</i><i> |
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