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Beweis Eigenraum invariant

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Eigenwerte

Tags: Eigenraum, Eigenwert, invariant

 
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S-8685

S-8685 aktiv_icon

09:59 Uhr, 19.09.2014

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Hallo Leute,
da der Formeleditor auf meinem Laptop nicht so läuft wie geplant versuche ich das nun hier als Text mit Foto deutlich zu machen.

(Aufgabe auf dem Foto)
Überlegung zu i)
Ein Eigenraum E zum Eigenwert λ ist invariant, wenn gilt f(Eλ)=Eλ
(Das λ ist hier jemweils ein Indizee)

reicht es dann zu zeigen, dass
y Element von EL →y=f(x) mit x Element EL
→f(y)=f(f(x))=f(λ⋅x)=λ⋅f(x)=λ⋅y=y Element Eλ

xElement Eλ→λx=f(x) Element f(Eλ) Teilmenge von V⇒x Element Eλ.

nur habe ich hierbisher keine Rücksicht darauf genommen, dass der Eigenwert auch in der Verknüpfung invariant ist. Wie macht man das? Oder bin ich bisher ganz auf dem Holzweg?

zu Aufgabe ii)
da würde ich zeigen, dass die Eigenvektoren linear unabhängig sind.??

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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

10:22 Uhr, 19.09.2014

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Sorry, ich blicke durch Deine Bezeichnungen nicht durch. Also vermute ich mal, dass Du es eigentlich richtig machst und schreibe einfach auf, wie ich es gemacht hätte, dann kannst Du vergleichen.

i) Sei v aus Eig(φ,λ). Dann gilt φ(v)=λv und dann φ∘ψ(v)=ψ∘φ(v)=ψ(λv)=λψ(v), also
φ(ψ(v))=λψ(v), womit ψ(v)∈ Eig(φ,λ).
Gezeigt: für jedes v aus Eig(φ,λ) liegt auch ψ(v) in Eig(φ,λ), also ist Eig(φ,λ) invariant unter ψ.

ii) Wenn φ n verschiedene Eigenwerte hat, dann sind alle entsprechenden Eigenräume eindimensional, also
dim(Eig(φ,λ))=1 für jeden Eigenwert λ von φ.
Sei jetzt v ein Eigenvektor von φ. Er liegt in einem von Eigenräumen Eig(φ,λ). Aus i) wissen wird, dass
ψ(Eig(φ,λ)) ⊂ Eig(φ,λ)), also ψ(v)∈ Eig(φ,λ)). Da aber dieser Raum eindimensional ist, gilt Eig(φ,λ))=<v> und es existiert ein μ mit ψ(v)=μv. Damit ist v auch ein Eeigenvektor für ψ.


Man kann es auch kürzer schreiben.
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