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Beweis: Existenz von Polynomen

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angewandte lineare Algebra

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Lineare Unabhängigkeit

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Beweis, Linear Abbildung, Lineare Unabhängigkeit, polynom

 
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Isa-30

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12:16 Uhr, 23.11.2020

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Meine Hausaufgaben Partnerin und ich brauchen dringend Hilfe bei dem folgenden Beweis:

Beweisen Sie:

Sind für ein n ∈ ℕ Polynome p0, . . . , pn ∈ Pn(ℝ) so gewählt, dass pi(100) = 0 gilt für alle
i ∈ {1,...,n}, dann sind p0,...,pn linear abhängig.

(Hinweis: Begründen Sie die Existenz von Polynomen qi∈Pn(ℝ) mit pi(x)=(x−100)qi(x) und zeigen Sie zunächst, dass diese linear unabhängig sind.)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:18 Uhr, 23.11.2020

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UPDATE. Es kommt darauf an, wie Pn definiert ist.
Was ist Pn?
Isa-30

Isa-30 aktiv_icon

12:29 Uhr, 23.11.2020

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Naja n∈ℕ , oder nicht ?
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

13:13 Uhr, 23.11.2020

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Pn. Was ist das?
Antwort
michaL

michaL aktiv_icon

19:17 Uhr, 24.11.2020

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Hallo,

Vektorraum der Polynom vom Grade höchstens n.

Mfg Michael
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

20:31 Uhr, 24.11.2020

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Wenn das so ist, dann geht es folgermaßen.

Erstes Ergebnis: seien q0,...,qn Polynome vom Grad ≤n-1. Dann sind sie linear abhängig.
Beweis. Der Raum der Polynome vom Grad ≤n-1 hat Dimension n, denn seine Basis ist 1,x,x2,...,xn-1. Aber q0,...,qn sind n+1 Elemente (Vektoren) aus diesem Raum. Und n+1 Vektoren in einem n-dimensionalen Raum ist immer linear abhängig.

Zweites Ergebnis: wenn a eine Nullstelle vom Polynom p(x) ist, dann lässt sich p(x)=(x-a)q(x) schreiben mit einem Polynom q(x).
Beweis (falls nicht bekannt ist): teilen p(x) durch x-a mit Rest: p(x)=q(x)(x-a)+r, r ist eine Zahl. Setzen a ein => r=0. Also, p(x)=(x-a)q(x).

Jetzt betrachten solche p0,...,pn∈Pn(ℝ), dass pi(100)=0.
Nach dem 2. Ergebnis existieren q1,...qn, so dass pi(x)=(x-100)qi(x).
Dabei gilt grad(qi)=grad(pi). Wegen grad(pi)≤n folgt grad(qi)≤n-1.
Nach dem 1. Ergebnis sind qi linear abhängig. Damit sind auch pi linear abhängig.