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Beweis: Funktion hat keine lokalen Extrema
Universität / Fachhochschule
Tags: Gradient, Hesse-Matrix, Indefinit?, Lokale Extrema
 
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Hallo! Ich komme bei folgender Aufgabe gar nicht voran: Sei . Wir nehmen an , dass die Hesse-Matrix von in indefinit ist und dass (Gradient). Zeigen Sie, dass kein lokales Minimum oder Maximum hat. Mein Dozent hat den Hinweis gegeben, dass wir uns den Satz von Taylor mit angucken sollen, aber das bringt mich auch nicht weiter... Kann mir vielleicht jemand helfen? Liebe Grüße Olli Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
| Hierzu passend bei OnlineMathe: Funktion (Mathematischer Grundbegriff) Extrema (Mathematischer Grundbegriff) |
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Hi, doch, der Tipp ist schon ganz gut. Die Hesse-Matrix ist hier in diesem Fall ja bekanntlich eine 2x2-Matrix. Wann ist eine Matrix indefinit? Gruß Sina |
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Eine Matrix ist indefinit, wenn sie weder positiv noch negativ (semi-)definit ist, also wenn die Matrix positive und negative Eigenwerte aufweist. Und für den Gradient benötigt man die partiellen Ableitungen, die hier 0 sein müssen. LG |
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Für den Gradient benötige ich ja die 1. partiellen Ableitungen und für die Hesse-Matrix die 2. partiellen Ableitungen. Wenn der Gradient aber schon 0 ist, dann müsste doch die Hesse-Matrix aussehen wie eine Nullmatrix und wäre somit nicht indefinit?! Oder ist das jetzt komplett falsch gedacht von mir? LG |
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Hallo, der Gradient ist - so die Voraussetzung - nur im Nullpunkt dann kann die Hesse-Matrix durchaus verschieden von 0 sein. Wenn sie indefinit ist hat sie einen positiven und einen negativen Eigenwert mit den entsprechenden Eigenvektoren, sagen wir und . Dann musst Du die Taylorformel für den Term und untersuchen. Gruß pwm |
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Guten Morgen. Danke erstmal für eure Antworten. Das mit dem Gradienten hab ich jetzt verstanden, aber irgendwie hab ich trotzdem noch Probleme mit der Taylorformel. Wenn ich jetzt und einsetzte dann bekomme ich doch 1. und 2. , aber irgendwie sieht das gar nicht richtig aus und ich glaube ich steh voll auf dem Schlauch... LG |
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Probier es mal mit der Tylorformel ;-) und dann substituiere , bzw |
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Irgendwie verstehe ich das nicht... :( Wie soll ich denn die partiellen Ableitungen bilden? Ich hab doch nur mein und nicht mehrere Variablen? Oder denke ich grad zu kompliziert? Sorry, aber ich blick das grad wirklich nicht... |
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Zunächst einmal ist keine "Variable", sondern ein Vektor im (das geht aus dem Kontext hervor). Um partielle Ableitungen bestimmen zu können benötigtest du eine Funktionsvorschrift, die ist aber nicht gegeben. Du kannst also gar keine partiellen Ableitungen bestimmen, die brauchst du aber nicht. Was kommt denn aus der Multiplikation heraus? ( ist die Hesse-Matrix von im Punkt ). |
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Oder formulieren wir das ganze mal etwas um, da ich glaube, dass diese ganzen Begriffe: Hesse-Matrix, Funktion usw. kontroproduktiv sind... Sei eine quadratische Matrix mit einem negativen Eigenwert und einem dazugehörigen Eigenvektor . Was komt dann aus heraus? |
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Naja da kommt dann wieder ein Vektor raus. Als Beispiel: hat den Eigenvektor und beim Multiplizieren kommt raus: , also die erste Spalte der Matrix... Und wenn ich die Hessematrix mit einem Vektor multipliziere, dann kommt da auch wieder ein Vektor raus. |
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Und wenn die Matrix nicht weiter bekannt ist? Das ist wichtig, denn in deiner Aufgabe hast du auch keine konkrete Funktion gegeben und damit auch keine konkrete Hesse-Matrix. Wir müssen uns also mit Bsp. beschäftigen, die etwas abstrakter sind... Wenn also nicht weiter bekannt ist, was bedeutet das dann? Was ist ein Eigenvektor? |
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