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Beweis: Funktion ist nicht stetig

Universität / Fachhochschule

Stetigkeit

Tags: Gegenbeispiel, Stetigkeit

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16:13 Uhr, 25.04.2011

Hallo,

wäre super wenn mir jemand erklären könnte, was ich hier grundlegend falsch mache.

Ich will zeigen, dass eine Funktion nicht stetig ist. Die Definition, die ich für Stetigkeit im Punkt

a \in ℝ

gelernt habe ist:

\forall ε > 0 \exists δ > 0 \forall x \in ℝ : | x - a | < δ \Rightarrow | f (x) - f (a) | < ε

Würde ich jetzt versuchen zu zeigen, dass eine Funktion nicht stetig ist, würde ich die ganze Aussage verneinen und hätte dann:

\exists ε > 0 \forall δ > 0 \exists x \in ℝ : | x - a | < δ \Rightarrow | f (x) - f (a) | \geq ε

Ist das bis hierhin richtig?

Nehme ich jetzt die Funktion

f : ℝ_{0}^{+} \to ℝ_{0}^{+} : f (x) = x

und wähle

ε = \frac{a}{2}

und

x = 0,

so bekomme ich

| 0 - a | = a < δ \Rightarrow | 0 - a | = a \geq \frac{a}{2}

.

Dies würde aber dann wiederum bedeuten, dass

f

in keinem Punkt

a \in ℝ_{0}^{+}

stetig ist, was ja wohl nicht sein kann.

Wäre super wenn mir jemand erklärt, was hier total falsch läuft.

Grüße,
philips

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Sina86

16:40 Uhr, 25.04.2011

Hi,

du hast die Negierungsregel nicht ganz richtig angewendet. Du hast zwar die Quantoren vor dem Doppelpunkt richtig geändert, jedoch nicht die Aussage hinter dem Doppelpunkt richtig negiert. Es gilt für zwei Aussagen

A, B

mit der Implikation

A \Rightarrow B

, das die Negation

A \land \bar{B}

ist. Hinter dem Doppelpunkt steht also

∣ x - a ∣ < δ \land ∣ f (x) - f (a) ∣ \geq ɛ

Dann hast du auch kein Problem mehr mit deinem Beispiel, denn wenn du

δ = \frac{a}{2} > 0

setzt, dann ist 0 nicht mehr in der Delta-Umgebung.

Gruß
Sina

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20:28 Uhr, 25.04.2011

Autsch, was für ein blöder Fehler...

Vielen Dank

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