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Beweis Gradient zweier Abbildungen ist gleich

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Gradient

 
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anonymous

anonymous

11:57 Uhr, 31.05.2020

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Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

Seien f:N differenzierbar und ANxN. Sei ferner g:N durch g(x):=f(Ax) gegeben. Hier identifizieren wir A mit der bezüglich der kanonischen Basis induzierten linearen Abbildung. Zeigen Sie für alle x>N:g(x)=ATf(Ax). Hier steht AT für die Transponierte von A.

Meine Idee soweit war erstmal, mir die Definition eines Gradienten anzuschauen.
g(x)=(1g(x)...ng(x)), aber da g(x)=f(Ax) müsste doch gelten, dass g(x)=f(Ax) oder? Was ist dann mit AT?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
ermanus

ermanus aktiv_icon

12:53 Uhr, 31.05.2020

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Hallo,

mit f(Ax) ist nicht der Gradient der Abbildung xf(Ax)
gemeint, sondern der Gradient f an der Stelle Ax.

Gruß ermanus
Antwort
Nick76

Nick76 aktiv_icon

13:59 Uhr, 31.05.2020

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Setze y=Ax dann ergibt sich für jede Komponente von y:yi=ai,jxj mit 1jN

ai,j bezeichne dabei den Eintrag von A aus Zeile i und Spalte j.

Um den Gradienten von g(x) zu berechnen, muss f zuerst nach y und danach y nach x abgeleitet werden (Kettenregel). Für die einzelnen Komponenten des Gradienten von g(x) erhält man auf diese Weise:

g(x)x1=i=1Nfyiyix1=i=1Nfyiai,1

...

g(x)xN=i=1NfyiyixN=i=1Nfyiai,N

Wie unschwer zu erkennen, sind die einzelnen Komponenten von g das Produkt eines Spaltenvektors von A mit dem Gradienten von f, also gilt g(x)=Atf(Ax).

Frage beantwortet
anonymous

anonymous

14:50 Uhr, 31.05.2020

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Achso gut danke!