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Beweis Gradient zweier Abbildungen ist gleich

Universität / Fachhochschule

anonymous

11:57 Uhr, 31.05.2020

Hallo, ich habe folgende Aufgabe:

Seien

f : ℝ^{N} \to ℝ

diﬀerenzierbar und

A \in ℝ^{N x N}

. Sei ferner

g : ℝ^{N} \to ℝ

durch

g (x) := f (A x)

gegeben. Hier identiﬁzieren wir A mit der bezüglich der kanonischen Basis induzierten linearen Abbildung. Zeigen Sie für alle

x \in > ℝ^{N} : \nabla g (x) = A^{T} \nabla f (A x)

. Hier steht

A^{T}

für die Transponierte von A.

Meine Idee soweit war erstmal, mir die Definition eines Gradienten anzuschauen.

\nabla g (x) = (\begin{matrix} \partial_{1} g (x) \\ . \\ . \\ . \\ \partial_{n} g (x) \end{matrix}),

aber da

g (x) = f (A x)

müsste doch gelten, dass

\nabla g (x) = \nabla f (A x)

oder? Was ist dann mit

A^{T}

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

12:53 Uhr, 31.05.2020

Hallo,

mit

\nabla f (A x)

ist nicht der Gradient der Abbildung

x \mapsto f (A x)

gemeint, sondern der Gradient

\nabla f

an der Stelle

A x

.

Gruß ermanus

13:59 Uhr, 31.05.2020

Setze

y = A \cdot x

dann ergibt sich für jede Komponente von

y : y_{i} = a_{i, j} \cdot x_{j}

mit

1 \leq j \leq N

a_{i, j}

bezeichne dabei den Eintrag von A aus Zeile

i

und Spalte

j

.

Um den Gradienten von

g (x)

zu berechnen, muss

f

zuerst nach

y

und danach

y

nach

x

abgeleitet werden (Kettenregel). Für die einzelnen Komponenten des Gradienten von

g (x)

erhält man auf diese Weise:

\frac{\partial g (x)}{\partial x_{1}} = \sum_{i = 1}^{N} \frac{\partial f}{\partial y_{i}} \cdot \frac{\partial y_{i}}{\partial x_{1}} = \sum_{i = 1}^{N} \frac{\partial f}{\partial y_{i}} \cdot a_{i,1}

. .

\frac{\partial g (x)}{\partial x_{N}} = \sum_{i = 1}^{N} \frac{\partial f}{\partial y_{i}} \cdot \frac{\partial y_{i}}{\partial x_{N}} = \sum_{i = 1}^{N} \frac{\partial f}{\partial y_{i}} \cdot a_{i, N}

Wie unschwer zu erkennen, sind die einzelnen Komponenten von

\nabla g

das Produkt eines Spaltenvektors von A mit dem Gradienten von

f,

also gilt

\nabla g (x) = A^{t} \cdot \nabla f (A \cdot x)

anonymous

14:50 Uhr, 31.05.2020

Achso gut danke!

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