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Beweis Gruppe

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Tags: Gruppen, modulo, Verknüpfung

Lolelei aktiv_icon

18:38 Uhr, 15.11.2009

Ich habe Probleme mit folgender Aufgabe:

Seien $Z / Z, +) ≅ (G, \circ)$

c) Zeigen oder wiederlegen Sie, dass es ein $n \in I N$ gibt mit $(S_{n}, \circ) ≅ (G, \circ) .$

Die Verknüpfungstafel von f1-f6 sieht so aus:

a) Wie kann ich jetzt die Assoziativität beweisen?

Geht es vielleicht auch anderst als alle möglichen verknüpfungen auszurechnen? (sind schon recht viele, wenn man das machen würde)

Ist das neutrale Element {1,1}? was ist das inverse Element?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

19:16 Uhr, 15.11.2009

Assoziativität: Die gilt vür die Hintereinanderausführung von Abbildungen völlig allgemein.
Es ist ja

f \circ g

definiert als die Abbildung mit

(f \circ g) (x) = f (g (x))

für alle

x

.
Daher ist

(f \circ g) \circ h

die Abbildung mit

((f \circ g) \circ h) (x) = (f \circ g) (h (x)) = f (g (h (x)))

und

f \circ (g \circ h)

die mit

(f \circ (g \circ h)) = f ((g \circ h) (x)) = f (g (h (x))),

also dieselbe Abbildung.

Wenn man die Theorie schon hinter sich hat, macht man die Abgeschlossenheit ganz anders, nämlich so:
Die Abbildungen sind alle von der speziellen Form

f (x) = \frac{a x + b}{c x + d}

mit

a, b, c, d \in ℤ

und

a d - b c = \pm 1

. Das Kompositum zweier solcher Abbildungen ist stets wieder von dieser Form und nereits dann eindeutig festgelegt, wenn man

f (0) = \frac{b}{d}, f (\infty) = \frac{a}{c}

und

f (1) = \frac{a + b}{c + d}

kennt (naja, zur Vermeidung der Diskussion, wie in diesem Zusammenhang

\infty

und die Division durch 0 gehandhabt werden - vielleicht lieber

f (2), f (- 1)

und

f (\frac{1}{2})

nehmen).

Aber "von vorne", aus "Anfängersicht", hilft möglicherweise nur die Vereinfachung, dass man beispielsweise zeigt, dass die Liste genau aus

i d, f_{5}, f_{5} \circ f_{5}, f_{2}, f_{2} \circ f_{5}, f_{2} \circ f_{5} \circ f_{5}

besteht, dass

f_{5} \circ f_{5} \circ f_{5} = i d, f_{2} \circ f_{2} = i d

und

f_{5} \circ f_{2} = f_{5} \circ f_{5} \circ f_{2}

gilt und dass mit diesen drei Formeln die Verknüpfung von zwei Funktionen aus der Liste immer in ein Listenelement umgeformt werden kann.
Auch wenn man die Tabelle ausfüllt, muss man ja nicht alles explizit (also mit den Definitionen der

f_{i})

ausrechnen, sonden kann schon eingetragene Werte ja weiterverwenden dank Assoziativgesetz.

Neutrales Element ist offenbar

i d = f_{1}

und das Inverse kannst du aus deiner Tabelle dann ablesen. Angesichts des obigen Erzeuendensystems bestehend aus

f_{2}

und

f_{5}

genügt es aber eigentlich

f_{2}^{- 1} = f_{2}

und

f_{5}^{- 1} = f_{5} \circ f_{5}

zu kennen.

Um einen Isomorphismus mit einem

S_{n}

zu erhalten (das müsste demnach ja wohl

S_{3}

sein, denn

3! = 6),

schau einfach mal, was die einzelnen

f_{i}

mit der Menge

{2, - 1, \frac{1}{2}}

machen und inwiefern du so einen Gruppenhomomorphismus

G \to S_{3}

erhältst.

Lolelei aktiv_icon

00:36 Uhr, 16.11.2009

vielen dank.

Den Teil a) habe ich soweit verstanden.

Aber wie geht man genau bei b) und c) vor?

b) n muss doch 6 sein, da G nur 6 Elemente erhält und die beiden Gruppen bijektiv sein sollen oder?

Müsste man hier deshalb nur die Verknüpfungstabelle für Z/6Z erstellen und gucken ob die Elemente der beiden Gruppen von der Anordnung her gleich sind?

michaL aktiv_icon

00:43 Uhr, 16.11.2009

Hallo,

das ist eine Möglichkeit. Eine andere (mit negativem Ausgang) wäre, wenn man zwei Elemente

a

und

b

fände, sodass

a \circ b \neq b \circ a

gilt, da alle

(ℤ_{n}, +, -, 0)

ja abelsche Gruppen sind. Ebenso könntest versuchen, ein Erzeugendes Element in

(G, \circ, x,^{- 1})

zu finden.

Mfg Michael

Lolelei aktiv_icon

17:28 Uhr, 16.11.2009

k, Danke!

Kann mir jemand dann bitte noch c) genau erklären?

Dass n=3 sein muss habe ich kapiert aber, wie kann ich beweisen, dass die bedien Gruppen homomoph zueinander sind?

Eine Gruppentafel zu s3 erstellen?

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