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Beweis: Gruppe mit 5 Elementen ist abelsch

Universität / Fachhochschule

Gruppen

Tags: Gruppen

deadmanwalking aktiv_icon

16:42 Uhr, 31.03.2011

Hallo

Ich komm bei folgendem Beispiel nicht wirklich weiter:

(1)

Zeigen Sie, dass jede Gruppe mit 5 Elementen abelsch ist.

(2)

Zeigen Sie, dass jede Gruppe mit höchstens 5 Elementen abelsch ist. Hinweis: Verwenden Sie eine passende Verallgemeinerung von

(1)

und die Tatsache, dass wenn für alle

a \in G

gilt:

a^{2} = 1,

dann ist die Gruppe abelsch (wurde schon früher bewiesen)

Hab so ne Grundsatzidee, und zwar:

für

(1)

stelle ich die Gruppe mal auf:

G = {a, b, c, d, e}

jetzt schau ich mir

a \cdot b

und

b \cdot a

an. Beides muss

\neq a, b

sein, sonst wär a oder

b

das Neutrale Element. Dann hab ich mir bereits sagen lassen, dass

a \cdot b \neq e

gelten muss, weil ja sonst a das Inverse zu

b

wäre (und umgekehrt) - klingt soweit logisch, aber zeigen muss ich

s

trotzdem, und da fehlt mir die Idee.

Wenn ich das habe, dann gehts weiter: für

a \cdot b

und

b \cdot a

bleibt als Ergebnis also nur noch

c

und

d

über. Jetzt wird man wohl annehmen, dass

a \cdot b = c

und

b \cdot a = d,

und das zu einem Widerspruch führen. Aber wie?

und für

(2),

das ist bei 1 und 2 Element eh klar. Für 5 stehts dann ja bei

(1)

schon. Wie siehts dann bei 3 und 4 aus?

Danke

michaL aktiv_icon

17:08 Uhr, 31.03.2011

Hallo,

welchen Wissensstand hast du bei endlichen Gruppen? Eigentlich ist es einfach zu zeigen, dass Gruppen mit Primzahlordnung abelsch sind.

Damit stellt sich als einzig schwieriger Fall nur die 4 heraus, wofür es aber ja einen Tipp gibt!

Mfg Michael

deadmanwalking aktiv_icon

17:14 Uhr, 31.03.2011

Ja das mit dem Primzahldingsbums hab ich beim herumgooglen auch gefunden... leider nützt mir das nichts, weil wir das nicht gemacht haben...
Ich muss zugeben, dass ich so gut wie nichts über endliche Gruppen weiß, bzw. wir weder in Vorlesung noch Übung irgendwas spannendes darüber gemacht hätten....

michaL aktiv_icon

18:03 Uhr, 31.03.2011

Hallo,

dennoch. Ihr müsstet wenigstens etwas über die Ordnung von Elementen und hoffentlich den Satz von Lagrange gehabt haben.
Ansonsten müsste man halt sehr grundlegend das ganze anfangen. Nicht, dass das schwierig wäre. Aber diese Konzepte von Anfängern(?) in einer Übung zu erwarten, halte ich für zu viel des Guten.

Also: Satz von Lagrange bekannt? Ordnung eines Elementes bekannt?

Mfg Michael

deadmanwalking aktiv_icon

19:31 Uhr, 31.03.2011

lagrange leider nein... nur in der analysis, aber das wird hier wohl nix nutzen

. .

. :-)

ordnung eines elements, ja: ord(a)

= min {n \in ℕ : a^{n} = 1},

stimmt das so?

was bringt mir das da?

LG

michaL aktiv_icon

11:57 Uhr, 02.04.2011

Hallo,

dass die Elementordnungen die Gruppenordnung teilen, kennt ihr also nicht?

Nun, dann brauchen wir zunächst das Ergebnis!

Betrachte eine endliche Gruppe

G

mit (dann ebenfalls endlicher) Untergruppe

U

, in Zeichen

U \leq G

.
Für jedes Element

a \in G

gilt:

∣ a \cdot U ∣ = ∣ U ∣

(klar, die Multiplikation ist ja injektiv).

Seinen

a, b \in G

mit

a \neq b

. Dann gilt entweder

a \cdot U = b \cdot U

, wenn

b^{- 1} a \in U

, bzw.

a \cdot U \cap b \cdot U = \emptyset

sonst.
Denn: Sei

x \in a \cdot U \cap b \cdot U

, d.h. es gibt

u, v \in U

mit

x = a u = b v \Rightarrow b^{- 1} a = v u^{- 1} \in U

. Also sind diese Mengen

A \cdot U, b \cdot U

entweder gleich oder haben einen leeren Durchschnitt.

D.h. man kann

G

partitionieren in solche Mengen

a_{1} \cdot U, \dots, a_{k} \cdot U

, wobei

a_{1}, \dots, a_{k} \in G

geeignet gewählt werden können/müssen. Sei

A := {a_{1}, \dots, a_{k}}

, dann gilt:

∣ G ∣ = \sum_{a_{i} \in A} ∣ a_{i} \cdot U ∣ = \sum_{a_{i} \in A} ∣ U ∣ = ∣ A ∣ ∣ U ∣

, d.h. insbesondere teilt die Ordnung von

U

diejenige von

G

.

Für von einem Element erzeugte Untergruppen gilt das natürlich auch. Deren Ordnung entspricht dann gerade der Elementordnung.

FAZIT: Die Ordnung eines Elements teilt die Gruppenordnung!

So, nun Frage dich, wieviele Untergruppen eine Gruppe mit 5(!) Elementen haben kann, wenn sie (wegen Primzahl) ja nur 2 Teiler hat!
Die Gruppe kann keine von

{e}

(

e

neutrales Element) und

G

verschiedene Untergruppe haben. insbesondere erzeugt jedes von

e

verschiedene Element die ganze Gruppe, d.h. die Gruppe ist zyklisch.

Sei also

G := {a, a^{2}, a^{3}, a^{4}, a^{5} = e}

, dann gilt natürlich

a^{k} \cdot a^{l} = a^{l} \cdot a^{k}

, d.h. die Gruppe ist abelsch. ALLE zyklischen Gruppen sind abelsch.

Erst einmal bis hierhin!

Mfg Michael

deadmanwalking aktiv_icon

13:14 Uhr, 02.04.2011

Herzlichen Dank für deine ausführliche Antwort.

Ich muss das jetzt erst mal durchdenken, hab im Moment aber leider keine Zeit. Ich meld mich dann wieder, wenn ich das mal nachvollziehen konnte.

LG

deadmanwalking aktiv_icon

15:46 Uhr, 03.04.2011

Hallo Michael

So, ich hab das jetzt nochmal durchgedacht. Ich will das mal zur Sicherheit nochmal zusammenfassen.

Also für

1,2,3

und 5-elementrige Gruppen gilt: Weil die Ordnung eines Elements die Gruppenordnung teilt, können diese Gruppen nur

{e}

und

G

als Untergruppe haben. Ok. Daher kann man

G

als

{a^{0}, ..., a^{5}}

schreiben, also ist sie zyklisch, also abelsch.

Wenn das jetzt so stimmt, dann hab ich (fast) alles verstanden. Was mir noch fehlt, ist der Schluss, warum aus der Aussage "G und

{e}

sind einzig mögliche Untergruppen" folgt, dass

G

von

a \neq e

erzeugt werden kann. Davor und danach komm ich klar. Wenn du mir das noch kurz schildern könntest, hab ich glaub den Durchblick :-)

Und eine zweite Frage: das ganze funktioniert ja nicht für

n = 4,

weil 4 nicht prim ist. Was machen wir da??

Danke & LG

michaL aktiv_icon

15:58 Uhr, 03.04.2011

Hallo,

zur ersten Frage: Sei

a \in G

. Wenn

a

NICHT die Gruppe erzeugen würde, wäre die von

a

erzeugte Untergruppe

< a >

zu betrachten. Ihre Ordnung (Elementanzahl) muss ein Teiler von 5 sein (ich bleib mal bei 5, geht aber für alle Primzahlen). 5 selbst geht nicht, da sonst ja

a

doch die ganze Gruppe erzeugen würde, was nach Voraussetzung aber nicht sein soll. Bleibt nur

∣ < a > ∣ = 1

, d.h.

a = e

.

Also umgekehrt:

a \neq e \Rightarrow < a > = G

Zur zweiten Frage: dazu gab es einen Tipp in der Aufgabenstellung, soweit ich mich erinnere:
> Hinweis: Verwenden Sie eine passende Verallgemeinerung von (1) und die Tatsache, dass wenn für
> alle a∈G gilt:

a^{2} = 1

, dann ist die Gruppe abelsch (wurde schon früher bewiesen)

Denke darüber nach, was für Ordnungen für

∣ G ∣ = 4

infrage kommen. Verwende dazu den Lagrange (von mir).

Mfg Michael

deadmanwalking aktiv_icon

16:08 Uhr, 03.04.2011

ok das erste hab ich, super, danke!

beim zweiten: naja, wegen dem obigen mit ordnung muss teiler sein, kann also für

a \in G

die Ordnung

1,2,4

sein.
aber was mach ich damit? wie gesagt, den lagrange kenn ich nicht....
und wie ich das mit "a^2=1 für alle

a \in G \Rightarrow G

abelsch" nutzen kann, hab ich auch noch nicht heraus... ich schätz mal, dass diese Aussage in

G

gilt, wenn

G 4

Elemente hat... aber wie zeig ich das?

LG

michaL aktiv_icon

16:18 Uhr, 03.04.2011

Hallo,

also sei

∣ G ∣ = 4

.

Nun fragen wir uns nach der Ordnung der Elemente von

G

.

Fall 1: Gibt es ein Element

a \in G

mit

ord (a) = 4

, dann erzeugt

a

schon die ganze Gruppe

G

. Insbesondere ist

G

dann zyklisch und damit auch abelsch.

Fall 2: Wenn es kein Element der Ordnung 4 gibt, dann haben die Elemente von

G

alle die Ordnung 1 oder 2. Entweder ist also

a = 1

oder

a^{2} = 1

für alle

a \in G

.
Auch für das Element

a = 1

gilt

a^{2} = 1

und damit gilt

a^{2} = 1

für alle Elemente

a \in G

.
Damit ist

G

auch dann abelsch! (wurde bei euch offenbar schon früher bewiesen)

Mfg Michael

PS: Lagrange sagt genau das aus: Die Ordnung eines jeden Gruppenelementes teilt die Gruppenordnung. (Und noch etwas mehr, aber das brauchen wir nicht.)

deadmanwalking aktiv_icon

16:56 Uhr, 03.04.2011

HERZLICHEN DANK!!!!!!!!!!

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