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Beweis: Isomorphismus
Universität / Fachhochschule
Relationen
Lineare Abbildungen
Tags: Linear Abbildung, Relation.
 
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anonymous 07:03 Uhr, 19.12.2014  |
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Hallo zusammen, ich hätte da eine Frage zu folgendem Beweis: WIr haben gegeben einen Graphen , wobei E als Menge von Objekten die Ecken darstellen und K die Kanten als Menge von zweielementigen Teilmengen mit . ist die Kante zwischen den Ecken und . Und wenn eben gilt, so heißen diese Kanten verbunden... Soweit klar :-) Wir betrachten nun einen Graphen mit den Ecken (Also einen Graphen , bei dem jeder Knoten mit jeder Kante verbunden ist??) Weiter steht da, dass zwei Ecken genau dann verbunden sind, wenn gilt. Und jetzt ist zu zeigen, dass die Automorphismengruppe Aut() zu () isomorph ist. So... meine Überlegungen bisher: Isomorph heißt ich habe eine Abbildungsvorschrift von V nach V' (in diesem Falle eben die Automorphismengruppe und die Gruppe der Permutationen), die bijektiv ist. Leider weiß ich nicht genau, was mit der Automorphismengruppe gemeint ist. Der Automorphismus eines Graphen heißt, soweit ich weiß, dass ich einen Graphen in sich selbst "transformieren" kann. Ich kann also seine Knoten in einer bestimmten Weise permutieren und es kommt derselbe Graph heraus. Soweit sogut... und weiter? :-D) Vielen Dank und noch eine schöne Vorweihnachtszeit! Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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anonymous 08:05 Uhr, 21.12.2014 |
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Hey nochmal, diese Frage wurde automatisch geschlossen, weil kein Interesse, ist nicht wirklich richtig :-) Ich habe mich weiter mit der Aufgabe befasst. Der Graph sieht nun so aus, dass ich als Knotenpunkte zweielementige Mengen habe. Diese haben jeweils zwei Zahlen zwischen 1 und 5 inne. Eine Kante liegt dann vor, wenn die Megnen disjunkt sind. Muss man sich einmal aufgezeichnet haben :-) Im endeffekt hat dann jeder Knoten den Grad 3. Jetzt muss ich zeigen, dass die Automorphismengruppe isomorph zur Gruppe der Permutationen mit 5 Elementen ist. Diese Gruppe (der Permutationen) hat 5! Elemente, wenn ich mich nicht irre. D.h. ich muss zeigen, dass ich 5! Automorphismen in dem Graphen finde? Ist das ein richtiger Ansatz? Edit: Mir kam eben die Idee, dass ich ja Bijektivität zu zeigen habe. Liegt also vor, wenn die Abbildung injektiv und surjektiv ist. Injektiv ist sie, wenn Ker(f) = 0 gilt. Soll ich eher da mal nachhaken? Wäre auch eine Idee... |
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anonymous 07:53 Uhr, 22.12.2014 |
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Soo, ich glaube ich habe die Antwort. Und zwar soll bei dieser Definition der Petersen-Graph herauskommen. Und ein Blick zum dazugehörigen Artikel in der deutschen Wikipedia verrät, dass das Ding 5 Symmetrieachsen besitzt. Jetzt ist dann auch die Isomorphie zur Permutationsgruppe mit 5 Elementen eigentlich klar, weil wir im Prinzip eine Symmetrische Gruppe vom Grad 5 besitzen. Danke trotzdem, dass sich wenigstens ein paar diese Frage angesehen haben ;-) Der Vollständigkeit Halber habe ich eben diese mehr oder minder zufriedenstellende Lösung gepostet. Somit wird diese Frage hier auch geschlossen. Kommentare sind jederzeit herzlichst willkommen. Beste Grüße und schöne Weihnachtszeit Euch noch! |
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