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Beweis Jensensche Ungleichung für Integrale

Universität / Fachhochschule

Integration

Stetigkeit

Tags: Integration, Stetigkeit

ggt63 aktiv_icon

22:06 Uhr, 28.05.2024

Hallo zusammen,
ich soll zeigen, dass folgende Ungleichung gilt

φ (\int_{a}^{b} f (x) d x) \leq \int_{a}^{b} φ (f (x)) d x

.
Für ein

f \in R (a, b)

und

φ : ℝ \Rightarrow ℝ

konvex und stetig. Dazu soll eine vorher bewiesene Ungleichung genutzt werden, welche folgende ist:
Sei

n

∈

N, n

≥ 2 und

y 1,

. . . , yn ∈

[a, b],

dann gilt

φ (\frac{1}{n} \cdot \sum_{k = 1}^{n} y_{K}) \leq \frac{1}{n} \cdot \sum_{K = 1}^{n} φ (y_{K})

.

Ansatz,Idee:
Ich denke, dass man das Integral mithilfe der Riemannsumme zu

lim_{n \to \infty} (\sum_{K = 1}^{n} f (E_{k}) \cdot Δ x_{k})

umschreiben kann. Mit der Stetigkeit kann bestimmt irgendwie was machen, sodass man den Limes rauszieht irgendwo. Aber wie genau man diese Aufgabe löst, weiß ich nicht. Wie beginnt man dabei überhaupt, sodass die bereits bewiesene Ungleichung angewendet werden kann?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Hammerman aktiv_icon

22:43 Uhr, 28.05.2024

wenn

f

auf dem Intervall stetig ist, dann gibt es doch

a_{1}

und

b_{1}

sodass

f (x) \in [a_{1}, b_{1}]

liegt für

x \in [a, b]

. Also ist dein

f (E_{k})

in der Riemannsumme das

y_{k}

aus der Hilfsungleichung.
Wenn man die Riemannsumme dann in gleichgroße Abschnitte der länge

\frac{1}{n}

unterteilt, also

Δ k = \frac{1}{n}

für alle

K

kann man das vor die Summe ziehen und hat genau die Ungleichung.

ggt63 aktiv_icon

23:42 Uhr, 28.05.2024

Erstmal Danke für deine Hilfe.
Daraus folgt ja dann

φ (\frac{1}{n} \sum_{K = 1}^{n} f (E_{k})) \leq \frac{1}{n} \sum_{K = 1}^{n} φ (f (E_{k}))

. Meine erste Frage ist, ob das einfach geht

Δ x_{k} = \frac{1}{n}

zu wählen, denn eigentlich wäre die äquidistante Zerlegung doch

Δ x_{K} = \frac{b - a}{n}

. Die nächste Frage ist, wie man dort nun den Limes reinbekommt, denn andernfalls könnte man diese Summe ja nicht wieder zu dem Integral zurückschreiben.

Hammerman aktiv_icon

09:48 Uhr, 29.05.2024

stimmt, da hast du recht.

\frac{b - a}{n}

kann man ja faktorisieren in

(b - a) \cdot \frac{1}{n}

. dann zieht man

(b - a)

vor die Summe und die Ungleichung bleibt gegeben(sofern

b > a)

. hmm ja du hast ja dann

φ (\int ...) = φ (lim_{n \to \infty} \sum ...)

und dann ist die Frage, ob man das

φ

in und aus der Summe ziehen kann...so verstehe Ich das. habe Ich aber auch leider nicht den passenden Satz zur verfügung...kann man nicht die Folge der partialsummen betrachten und daraus folgern, dass, wenn jede Partialsumme die UG erfüllt, dies auch für den Grenzwert gilt?nur ne Idee, aber hier bin Ich auch mit meinem latein am Ende..gibt sicher irgendnen Satz der das auch so belegt...

ggt63 aktiv_icon

12:11 Uhr, 29.05.2024

Man könnte ja mit der linken Seite der zu zeigenden Ungleichung beginnen.

φ (\int_{a}^{b} f (x) d x) = φ (lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} f (E_{k}) \cdot Δ x_{k}) = φ (lim_{n \to \infty} \sum_{k = 1}^{n} f (E_{k}) \cdot \frac{b - a}{n})

(für die äquidistante Zerlegung)
Aufgrund der Stetigkeit von

φ

darf man den Limes rausziehen:

lim_{n \to \infty} φ (\frac{1}{n} \cdot \sum_{k = 1}^{n} f (E_{k}) \cdot (b - a))

Jetzt kommt das Problem, und zwar ist die Hilfsungleichung ja nicht für

\frac{1}{n} \cdot (b - a)

bewiesen, der Faktor

(b - a)

kann zwar aus der Summe gezogen werden, aber dann ist die Hilfunsgleichung nicht mehr gültig. Bleibt der Faktor

(b - a)

in der Summe so folgt mit der Hilfsungleichung:

lim_{n \to \infty} φ (\frac{1}{n} \cdot \sum_{k = 1}^{n} f (E_{k}) \cdot (b - a)) \leq lim_{n \to \infty} (\frac{1}{n} \cdot \sum_{k = 1}^{n} φ (f (E_{k}) \cdot (b - a)))

Damit fehlt nur noch, dass

(b - a)

irgendwie aus dem

φ

zu bekommen.

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