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Beweis, K-Vektorraumhomomorphismus

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Tags: Angewandte Lineare Algebra, Lineare Abbildungen, Vektorraum

 
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LineareAlgebra

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19:29 Uhr, 09.05.2014

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Wie beweise ich folgendes:

Es seien eine Menge X, ein Körper K, ein n∈ℕ0 und ein n-Tupel (x1,...,xn)∈X gegeben.
Zeigen Sie, dass ε: Map(X,K) →Kn,f↦(f(x1),...,f(xn)) ein K-Vektorraumhomomorphismus ist.
Map(X,K) ist dabei einfach als eine Abblidung von X nach K definiert.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

20:08 Uhr, 09.05.2014

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Die Aussage ist ziemlich trivial, denn f+g und α⋅f für Abbildungen f,g und Zahl α sind einfach punktweise definiert, also (f+g)(x) ist definiert als f(x)+g(x) und (α⋅f)(x) ist definiert als α⋅f(x) für alle x.
Deshalb haben

ε(f+g)=((f+g)(x1),...,(f+g)(xn))=(f(x1)+g(x1),...,f(xn)+g(xn))=

=(f(x1),...,f(xn))+(g(x1),...,g(xn))=ε(f)+ε(g)

und genauso

ε(αf)=((αf)(x1),...,(αf)(xn))=(αf(x1),...,αf(xn))=

=α(f(x1),...,f(xn))=αε(f).
Frage beantwortet
LineareAlgebra

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20:48 Uhr, 09.05.2014

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Ah verstehe.. hätte nicht gedacht das man es so leicht zeigen kann.. Super vielen dank :-)