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Beweis: K archimedisch angeordnet.

Universität / Fachhochschule

Tags: Anordnung, Dedekindscher Schnitt, Körper

 
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Moe93

Moe93 aktiv_icon

16:29 Uhr, 12.05.2017

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Hi,

Wir sollen folgende Aufgabe lösen:

K angeordneter Körper, der schnittvollständig ist. Sie sollen zeigen, dass K dann archimedisch angeordnet ist. Nehmen Sie hierzu an, dass K nicht angeordnet ist und zeigen sie mit dieser Annahme:

a) Die Menge A:={k∈K; es gibt ein n∈ℕ mit n≥k} und ihr Komplement B bilden einen Dedekindschen Schnitt in K. Sei s∈K die dazugehörige Schnittzahl.

b) Es gilt s ist nicht in A.

c)s ist nicht in B.

Schließen sie nun, dass K archimedisch angeordnet ist.


Also: B müsste ja diese Menge sein {k∈K ;für alle n:n<k} (Habe die Aussage negiert!)

Dann ist die Vereinigung von A und B ganz K . Der Schnitt ist leer, denn für k1∈A und k2∈B gilt: k1≤n<k2.
Und es gilt k1<k2. Ist also ein Dedekindscher Schnitt. Aber ist nicht n die Schnittzahl?

Und was soll ich mit der Annahme "nicht archimedisch" anfangen?

Vielen Dank im voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

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ermanus

ermanus aktiv_icon

19:53 Uhr, 13.05.2017

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Hallo,

Wir wollen zeigen,dass K nichtarchimedisch ⇒ K nicht schnittvollständig.

Sei also K nicht archimedisch.
B hast du ja schon richtig bestimmt. Da K nicht archimedisch ist,
ist B nicht leer.

Das Paar (A∣B) ist dann ein Dedekindscher Schnitt, da nach Konstruktion
A≤B und A∪B=K ist.
Sei s die zu diesem Schnitt gehörige Schnittzahl:
A≤s≤B.
Wir zeigen nun, wie der Aufgabensteller uns rät:
b) s∉A und
c) s∉B.

Wenn wir das gezeigt haben, ist bewiesen, dass es zu diesem Schnitt keine Schnittzahl in K
gibt, K also nicht schnittvollständig ist.

Zu b) Wäre s∈A, dann gäbe es n∈ℕ mit n≥s, was
n+1>s zur Folge hätte. Nun ist aber offenbar n+1∈A
im Widerspruch zu A≤s.

Zu c) Wäre s∈B. Versuche mal zu zeigen, dass dann auch s-1∈B
gelten müsste etc. etc.

Gruß ermanus
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