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Beweis: Kommutative Gruppe

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Gruppen

Tags: Gruppen, kommutativ

daniel7 aktiv_icon

13:52 Uhr, 12.06.2016

Hallo,
ich soll zeigen, dass eine Gruppe G kommutativ ist, also

x * y = y * x

\forall x, y \in G

wobei

g \in G

f.a.b. sodass

\forall a \in A

ein

n \in N

existiert mit

a = g^{n}

Mein erster Gedanke wäre hier jetzt gewesen, dass ich

g^{n}

ausschreibe und dann die Gleichung mit Inversen der Elemente multipliziere, sodass ich hoffentlich irgendwie auf die kommutativität komme. Also etwa sowas:

a = g * g * . . . * g

(n mal)

a * g^{- 1} * g^{- 1} = g * . . . * g

(nur noch n-2 mal)

a * (g * g)^{- 1} = g * . . . * g

a * a^{- 1} = g * . . . * g * a^{- 1}

e = g * . . . (g * a^{- 1})

Aber damit kann ich wohl wenig anfangen, wenn ich kommutativität zeigen will?

Eine andere Idee wäre, das Wissen, dass

g * g \neq g

sein muss wenn

a \neq g

und so erstmal alle Elemente durch

g * g * . . * g

erzeugt werden müssen bevor es zyklisch wird. Kann man damit den Beweis durchführen? Wenn ja, wie?

Viele Grüße,
Daniel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

14:22 Uhr, 12.06.2016

Die Aufgabe ist ziemlich unklar formuliert.
Ist es gegeben, dass jedes Element

a

in der Form

g^{n}

mit einem fixen

n

darstellbar ist?
Dann ist die Kommunikativität trivial:

a \cdot b = g^{n} \cdot g^{m} = g^{n + m} = g^{m + n} = . . . = b \cdot a

.
Oder musst Du etwas Anderes zeigen?

daniel7 aktiv_icon

17:43 Uhr, 12.06.2016

Es ist gegeben, dass g ein beliebiges (aber festes) Element ist und dann finde ich zu jedem Element a ein n, sodaß

a = g^{n}

gilt.
Dann würde dein Beweis zur Aufgabe passen, sehe ich das richtig?

DrBoogie aktiv_icon

07:25 Uhr, 13.06.2016

Ich verstehe immer noch nicht, wie die Aufgabe lautet.
Kannst Du vielleicht das Bild mit der Originalaufgabe posten?

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