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Beweis Kompaktheit auf R²
Universität / Fachhochschule
Funktionalanalysis
Funktionentheorie
Komplexe Analysis
Tags: Abgeschlossenheit, Beschränktheit, Funktionalanalysis, Funktionentheorie, kompaktheit, Komplexe Analysis
 
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Hallo. Meine Aufgabe ist es direkt aus der Definition von Kompaktheit zu beweisen, dass die Menge bezüglich der Standardmetrik auf kompakt ist. Ich habe hier den Ansatz gemacht, die Menge in gleichgroße Teile zu teilen und das ist auch der richtige Ansatz. Allerdings habe ich den Beweis nicht richtig auf den Raum anpassen können und habe damit auch noch einige Probleme. Per Widerspruch ist wohl am besten, da bekannt ist, dass: Falls nicht kompakt ist, es eine Überdeckung (Ui) mit aus I existiert die keine endliche Teilüberdeckung hat. Kann mir jemand die Lösung schildern? ist hier definiert als "Kreuz." Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg." |
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Ich kann dier als Tipp geben das du die Annahme das es keine endliche Teilüberdeckung gibt zum Widerspruch führst. In dem du durch Vollständige Induktion ein Folge von abgeschlossenen Teilquadraten Konstruierst. Wenn für eines dieser Teilquadrate die Behauptung zu einem Widerspruch führt muss das auch für [0,1]x[0,1] gelten da man ja aus diesem Teilquadrat was Kompakt ist ja [0,1]x[0,1] wieder rekonstroieren kann. Weiter nach der Konstruktion kann dir auch das Schachelungsprinzip helfen. |
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Ja das ist der richtige Ansatz, an den ich auch schon gedacht hab und versucht habe zu konstruieren. Da ich nicht wirklich drauf komme, hätte ich lieber einen Lösungsvorschlag, an dem ich mir das einmal vernünftig vor Augen führen kann. Gruß |
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Naja ich mach es mal kurz in Worten. Nach dem Schachtelungsprinzip gibt es einen Punkt der in allen deinen Konstruierten Quadraten liegt also gibt es mindestens eine offene Teilmenge in der dieser Punkt liegt. Weil die Teilmenge offen ist gibt es ein t > 0 so das eine Scheibe mit radius t in diese offene Teilmenge passt. Nimmt man jetzt aus der Folge der Konstruierten Quadrate ein Quadrat dessen Durchmesser kleiner als t ist so muss das Quadrat in die Scheibe passen was dann der Widerspruch ist. |
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Das macht es schon besser. Wie würden denn die Teilquadrate in ihrer Konstruktion aussehen. Beispielsweise für ein ? |
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Für n = 1 hast du ein direktes Beispiel im Beweis vom Satz von Bolzano-Weierstraß und dem Intervallschachtelungs Prinzip aus der Analysis 1. |
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Okay,danke. |
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