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Beweis: Konvergente Folge hat genau 1 Häufungspunk

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Häufungspunkt beweisen, konvergente Folge

Farbenfroh aktiv_icon

16:18 Uhr, 02.01.2014

Hallo! Ich gehe gerade ein paar alte Übungsaufgaben zur Klausurvorbereitung durch. Bei Folgendem ist mir der letzte Schritt nicht ganz klar:
AUFGABE:
Vorraussetzung:

a_{n}

ist konvergente Folge, d.h.

\forall

ε

> 0

\exists N

€ I N

∣ a_{n} - a ∣ < ε

\forall n > = N

(DEF. Konvergenz durch Epsilon Kriterium)

zu zeigen ist, dass für alle Teilfolgen

a_{(} n_{k})

ebenfalls gilt:

\forall

ε

> 0

\exists

N_{1} € I N : ∣ a_{(} n_{k}) - a ∣ < ε \forall n > = N_{1}

(also dass es nur 1 Häufungspunkt gibt)

So nun folgt der Beweis durch Gegenbeispiel:
Angenommen

\exists

Teilfolge

a_{(} n_{k})

mit

∣ a_{(} n_{k}) - b ∣ < ε

\forall N > = N_{2}

(also angenommen es gäbe einen zweiten Grenzwert b)
und a!= b ist, dann ist

∣ a - b ∣ = P > 0

Nun gehts weiter:
2

ε = P = ∣ a - b ∣ = ∣ a - a_{n} + a_{n} - P ∣ < = ∣ a - a_{n} ∣ + ∣ a_{n} - b ∣ = ∣ a_{(} n_{k}) - a ∣ + ∣ a_{(} n_{k}) - b ∣ < 2 ε

Somit wäre bewiesen, dass es keine Teilfolge mit einem anderen Häufungspunkt geben kann, wenn die gesamte Folge konvergent ist. ABER:
Was ich hier nicht verstehe ist: Wieso kann man sagen dass 2 Epsilon = p sind? und wieso wird b durch P ersetzt?

Hoffe man versteht was ich meine.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

17:03 Uhr, 02.01.2014

Hallo,

> So nun folgt der Beweis durch Gegenbeispiel:[...]

Nein, es erfolgt ein Widerspruchsbeweis. Das ist etwas anderes!
Formal(er) sollte es heißen: "Angenommen, es gäbe mehr als einen Häufungspunkt. ..."

> Wieso kann man sagen dass 2 Epsilon = p sind?

Nun, auch hier ist es recht knapp formuliert. Eingängiger wäre:
Sei

ε := \frac{P}{2}

.[...]

Da ja Häufungspunkte über Epsilontik definiert sind (also Bedingungen für alle (positiven

ε

gelten sollen), müssen sie auch für das

ε

gelten, das dem halben Abstand der "beiden" Häufungspunkte entspricht. Es ginge auch mit (noch) kleineren

ε

, aber halb so groß reicht, um das Prinzip zu verdeutlichen.

> und wieso wird b durch P ersetzt?

Wird es nicht. Das ist nur ein Schreibfehler.
Von wem, kann ich nicht sagen. Wenn's gedruckt vorliegt, dann vom Autor, ansonsten vielleicht ein Abschreibfehler von dir. Im dritten Betrag taucht das

P

ja auch nicht mehr auf.

Hast du denn die Struktur des Beweises verstanden?

Mfg Michael

Farbenfroh aktiv_icon

17:32 Uhr, 02.01.2014

Vielen lieben Dank für die freundliche und schnelle Antwort.
Dann ist das

P

wohl irgendwie dazwischen gerutscht.
Soweit denke ich alles verstanden zu haben, ich bedanke mich!

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