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Beweis Kreuzprodukt zweier Mengen abzählbar
Universität / Fachhochschule
Tags: Abbildung, abzählbar, abzählbare menge, endlich, endliche Menge, unendlich
 
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Sei A eine nichtleere endliche Menge und eine abzählbare unendliche Menge, zeige, dass das Kartesische Produkt von A Kreuz abzählbar unendlich ist. Ich würde jetzt so vorgehen: die Menge aller natürlichen Zahlen Kreuz Es muss bewiesen werden, dass die Abbildung N→L bijektiv ist. Zudem gilt: 1. Die Abbildung B→N muss bijektiv sein, da abzählbar unendlich ist. Also 2. Die Abbildung A→N muss injektiv sein, da A nicht unendlich ist. Also . Jetzt weiß ich nicht mehr so recht, kann ich jetzt die Aussage mit dem Widerspruch verfahren beweisen? Also: Wäre C:N→L injektiv, aber nicht surjektiv, dann wäre dies ein Widerspruch zu . Denn dann müsste gelten. Daraus folgt muss surjektiv sein. Wäre N→L surjektiv, aber nicht injektiv, dann wäre B→N nicht bijektiv, weil dann gelten würde. Daraus folgt muss injektiv sein und somit bijektiv. Kann ich das so beweisen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, nein, das kannst du so nicht beweisen. Warum willst du denn hier einen Widerspruchsbeweis führen? Das ist ganz abwegig. Da garnicht definiert ist, wie willst du da zeigen, dass bijektiv ist? Vielmehr geht es doch darum, mit Hilfe von ein geeignetes bijektives (also eine Zuordnungsvorschrift) anzugeben. Gruß ermanus |
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Kannst du mir noch eine Tipp geben. Also ich weiß, dass D:B→N jedem Element genau ein Element zuordnet. Aber wie kann ich dann auf schließen. Das ist mein Problem, weil nicht definiert ist. Wie gehe ich da vor? |
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Du hast ja eine Numerierung von , etwa . sei . |
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Ok das Ergibt Sinn. Könnte man die Zuordnung so aufschreiben, sei das ite Element von und das ete Element von A und . Dann könnte man ja die Zuordnung . Also wenn dann hätten die Zuordnung . hätte und zb hätte usw. Ich kann ja dann jedem Element A Kreuz eine natürliche Zahl zuordnen |
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Ja, diese Zuordnungsformel hatte ich auch im Sinn :-) |
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Ok danke. Ich würde den beweis dann so beenden, dass ich beweise, dass eine Abbildung ist und bijektiv. Also ist eine Abbildung, da für jedes Element A Kreuz genau eine natürliche Zahl zuordnet. ist injektiv, da wenn und gilt, es gelten muss das und gilt, laut der Definition von . ist surjektiv, da laut der Definition von jede natürliche Zahl ein Element A Kreuz zugeordnet wird. Damit ist bijektiv zu den natürlichen Zahlen und dies bedeutet, dass A Kreuz abzählbar unendlich ist. |
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Ja. Ich denke das ist OK :-) |
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