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Beweis
Universität / Fachhochschule
Tags: Lineare Algebra
 
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anonymous 22:05 Uhr, 14.04.2004  |
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Hi... kennt jemand den Beweis zu dieser Aufgabe? Ich kann ihn in meine Unterlagen nicht finden! Zeige: Für alle lambda Element K und A Element K(nxn) gilt: det(lambda A)= lambda^n det(A). Vielleicht kann ja wer von euch das! Bis denn Anke |
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Hallo Anke, der Beweis folgt eigentlich unmittelbar aus der Definition der Determinante, wonach die Determinante linear in jeder Zeile ist, was ja z.B. auch bedeutet: (Am Beispiel einer 3x3-Matrix, da ich den Formeleditor nicht besser beherrsche ;-)) Da dies , wie gesagt, Teil der Definition der Determinante(nfunktion) ist, muss dies nicht bewiesen werden, sondern ist per Definition so! Wenn du nun diese Regel für alle Zeilen einmal anwendest, erhältst du sofort den gewünschten Beweis. Dazu muss man natürlich auch noch folgendes wissen: Viele Grüsse Paul |
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Danke Paul für deinen Hinweis, aber so wirklich bin ich noch nicht dahintergestiegen was du meinst!! Sry Anke |
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Hallo Anke, sagt dir der Begriff Determinantenfunktion etwas? Oder wie habt ihr die Determinante definiert? Zur Determinantenfunktion: http//www.jkrieger.de/download/linalg.pdf -> Seite 11, Definition 3.1 Nach Definition 3.1., 1. erhältst du (fast) sofort die Aussage (diese u_i dort sind Spaltenvektoren aus K^n). Paul argumentiert (wenn man 3.1.1 benutzt) auch richtig, denn: Anstatt über die Spalten kann man auch über die Zeilen argumentieren (es gilt (grob): det(A)=det(A^T) für symmetrische Matrizen; A^T ist die transponierte von A). Ich weiß nicht, ob es angebracht ist, aber ich finde diesbezüglich (also bzgl. Determinanten) das Buch: 'Bosch, Lineare Algebra' sehr gut (keine Schleichwerbung ;-)). Vielleicht kannst du es ja auch in eurer Bibliothek finden... Oder auch hier: http://www.mathscripts.de/public/frmset_public.php?detailid=14&url=http//www.uni-math.gwdg.de/skripten/Aglaskript/agla.pdf -> S.85 ff. gibt es (unter anderem die Aussage der Linearität in jeder Zeile; per Definition, so wie Paul es erklärt hat) nachzulesen... Also, anhand des Beispiels der 3x3-Matrix von Paul (wir berechnen also det(lambda*A), wobei A die 3x3-Matrix von Paul ist):Leider sind die Formeln etwas abgeschnitten; es sollte aber noch erkennbar sein, was eigentlich jeweils dort steht, oder? Und natürlich gehst du genauso vor bei einer 1x1-Matrix ;-), 2x2-Matrix, 4x4-Matrix, 5x5-Matrix,... Das hatte Paul gemeint (da bin ich mir ausnahmsweise 100% sicher ;-)). Damit kommst du zu dem geforderten Ergebnis bei einer nxn-Matrix (eine nxn-Matrix hat ja n Zeilen, also können wir n Mal die Linearität der Zeile(n) ausnutzen!). Viele Grüße Marcel |
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