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Beweis Mengenfamilien, Indikatorfunktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Indikatorfunktion, Mengenfamilien

anonymous

20:08 Uhr, 24.02.2010

Hallouu

ich muss folgendes Beweisen:

$\underset{1 \leq k \leq n}{\cup} A_{k} = \underset{1 \leq k \leq n}{\cap} A_{k} \cup \underset{1 \leq k \leq n - 1}{\cup} {(A}_{k} Δ A_{k + 1})$
und zwar mithilfe den Indikatorfunktionen

Also ich weiß wie ich mit Indikatorfunktionen arbeite wenn ich zb einfache Mengengleichheiten beweisen muss, zb Demorganschen Regeln usw..

jedoch weiß ich nicht wie ich mit Mengenfamilien damit umgehen soll.

Weiters hab ich auch schwierigkeiten bei Beweisen wie:

$A = B \Leftrightarrow 1_{A} = 1_{B} \Rightarrow 1_{A} \equiv 1_{B} (\mod 2)$ wobei $1_{A}$ die Indikatorfunktion der Menge A ist.

Hoffe es kann mir jmd. weiterhelfen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

15:57 Uhr, 25.02.2010

Ein paar basic facts:

1_{A \cup B} = 1 - (1 - 1_{A}) (1 - 1_{B}), 1_{A \cap B} = 1_{A} \cdot 1_{B},

mithin
linke Seite

= 1_{⋃ A_{k}} = 1 - \prod (1 - 1_{A_{k}})

1_{A_{k} Δ A_{k + 1}} \equiv 1_{A_{k}} + 1_{A_{k + 1}} mod 2

rechte Seite

\equiv 1 - (1 - \prod 1_{A_{k}}) \cdot \prod (1 + 1_{A_{k}} + 1_{A_{k + 1}}) mod 2

Zu zeigen ist also

\prod (1 - 1_{A_{k}}) \equiv (1 - \prod 1_{A_{k}}) \cdot \prod (1 + 1_{A_{k}} + 1_{A_{k + 1}}) mod 2

Hm, ehrlich gesagt ist das direkt aus der Extensionalität einfacher:
Bezeichne

L

die Menge links,

R

die Mnege rechts.
Falls

x \in A_{k}

für alle

k, 1 \leq k \leq n

gilt, so ist offenbar

x \in L

und

x \in R

.
Falls

x \notin A_{k}

für alle

k, 1 \leq k \leq n

gilt, so ist offenbar

x \notin L

und

x \notin R

.
Falls dagegen

x \in A_{k_{1}}

für ein

k_{1}

und

x \notin A_{k_{2}}

für ein

k_{2},

so gilt nicht für alle

k,

dass

x \in A_{k} \Leftrightarrow x \in A_{1}

.
Wähle demnach

k

minimal mit

x \in A_{k} \Leftrightarrow x \notin A_{1}

.
Dann

k > 1

und

x \in A_{k} \Leftrightarrow x \notin A_{1} \Leftrightarrow x \notin A_{k - 1},

folglich

x \in (A_{k - 1} Δ A_{k}) \subset R

(und natürlich auch

x \in L)

anonymous

17:50 Uhr, 26.02.2010

Und bei den Indikatorfkt. zeigt man dann einfach alle möglichkeiten?

Also A_k A_k+1

0 1

0 0

1 1

1 0

damit komm ich aber nicht hin?

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