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Beweis Multinomialsatz

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

Khokta aktiv_icon

14:42 Uhr, 22.03.2015

Hallo zusammen!
Ich soll den Multinomialsatz beweisen:

\forall m \in ℕ, n \in ℕ_{0},

und

x_{1}, ..., x_{m} \in ℝ

gilt:

{(x_{1} + ... + x_{m})}^{n} = \sum_{0 \leq a_{1}, ..., a_{m} \leq n, a_{1} + ... + a_{m} = n} \frac{n!}{a_{1}! \cdot ... \cdot a_{m}!} \cdot x_{1}^{a_{1}} \cdot ... \cdot x_{m}^{a_{m}}

Wir haben diesen Satz so in der Vorlesung definiert, das ganze sieht für mich jetzt erst mal ziemlich unübersichtlich aus.. Zu meiner ersten Frage: Ich würde das mit Induktion über

n

beweisen. Muss ich dann auch noch mit Induktion über

m

beweisen, oder kann ich für

m

ein beliebiges Element aus

ℕ,

fest gewählt, nehmen? Also

m

fixieren?

Lg Khokta

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

15:07 Uhr, 22.03.2015

Hallo,

siehste, und ich (!) würde gerade eine Induktion nach

m

machen...
Den binomischen Lehrsatz hattet ihr schon, gell?

Mfg Michael

Khokta aktiv_icon

15:34 Uhr, 22.03.2015

Warum nach m? Ist es nach

n

gar nicht möglich?
Ja, den binomischen Lehrsatz kenne ich.

michaL aktiv_icon

16:02 Uhr, 22.03.2015

Hallo,

> Warum nach m?

(x_{1} + \dots + x_{m} + x_{m + 1})^{n} = {((x_{1} + \dots + x_{m}) + x_{m + 1})}^{n} = \dots

und hier kommt halt die Induktionsvoraussetzung (nicht sofort, aber doch bald).

> Ist es nach

n

gar nicht möglich?

Will ich nicht sagen. Nur sinnvoller ist es nach

m

.

Zumal:
> Ja, den binomischen Lehrsatz kenne ich.

Dann kannst du den ja oben direkt anwenden auf

{((x_{1} + \dots + x_{m}) + x_{m + 1})}^{n}

.

Vielleicht noch einmal zusammenfassend:

n

kann ja sein wie's will, das erledigt man am besten mit dem binomischen Lehrsatz. Also ist Induktion nach

n

nicht nötig.
Eine nach

m

dagegen lässt sich hier so einfach (s.o.) einbauen.
(Eine andere Idee wäre tatsächlich nach

n

zu induzieren. Dann müsstest du aber

m

ganz allgemein wählen. [Geht ja auch.] Ich weiß aber nicht, ob der Induktionschritt dann nicht deutlich komplizierter wird.)

Mfg Michael

Khokta aktiv_icon

16:04 Uhr, 22.03.2015

Okay danke für deine Tipps und Erklärung, werd mich da jetzt gleich mal drauf los stürzen

〈

Lg
Khokta

Khokta aktiv_icon

12:09 Uhr, 23.03.2015

Konnte die Aufgabe nun gut lösen! Danke nochmals für deine Hilfe!!

Liebe Grüße
Khokta

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